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最新概率论与数理统计各章重点与公式.docx
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第一章 随机事件和概率
(1)排列组 从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
合公式
从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n
(2)加法和 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。
乘法原理
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由 m 种方法完成,第二个步骤可由
n 种方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。
重复排列和非重复排列(有序)
(3)一些常
对立事件(至少有一个)
见排列
顺序问题
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,
但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试
验。
(4)随机试
验 和 随 机 事
件
试验的可能结果称为随机事件。
在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有
如下性质:
①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;
②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。
(5)基本事 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。
件、样本空间 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。
和事件
一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A,B,
C,…表示事件,它们是 的子集。
为必然事件,Ø 为不可能事件。
不可能事件(Ø)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,
必然事件(Ω)的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。
①关系:
如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分,(A 发生必有事件 B 发生):
如果同时有 , ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:A=B。
A、B 中至少有一个发生的事件:A B,或者 A+B。
属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可
表示为 A-AB 或者 ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
(6)事件的 A、B 同时发生:A B,或者 AB。A B=Ø,则表示A 与 B 不可能同时发生,称
关系与运算 事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为 。它表示 A 不发生的事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率: ,
设 为样本空间, 为事件,对每一个事件 都有一个实数 P(A),若满足下列三个
(7)概率的
条件:
公理化定义
1° 0≤P(A)≤1,
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2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 , ,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称 P(A)为事件 的概率。
1° ,
2° 。
(8)古典概
设任一事件 ,它是由 组成的,则有
型
P(A)= =
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空
(9)几何概 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何
型
概型。对任一事件 A,
。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
式
当 P(AB)=0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A-B)=P(A)-P(AB)
(11)减法公
当 B A 时,P(A-B)=P(A)-P(B)
式
当 A=Ω 时,P( )=1- P(B)
定义 设 A、B 是两个事件,且P(A)>0,则称 为事件 A 发生条件下,事件B 发
(12)条件概 生的条件概率,记为 。
率
条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
乘法公式:
(13)乘法公
更一般地,对事件 A1,A2,…An,若 P(A1A2…An-1)>0,则有
… …… … 。
式
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ,则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立,且 ,则有
若事件 、 相互独立,则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件 Ø 与任何事件都相互独立。
(14)独立性Ø 与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,
P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么 A、B、C 相互独立。
对于 n 个事件类似。
设事件 满足
(15)全概公1° 两两互不相容, ,
式
2° ,
则有
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。
设事件 , ,…, 及 满足
1° , ,…, 两两互不相容, >0, 1,2,…, ,
2° , ,
(16)贝叶斯 则
公式 ,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,( , ,…, ),通常叫先验概率。 ,( , ,…, ),通常称为后验概率。贝
叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。
我们作了 次试验,且满足
u
u
每次试验只有两种可能结果, 发生或 不发生;
次试验是重复进行的,即 发生的概率每次均一样;
(17)伯努利
u
每次试验是独立的,即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不
影响的。
概型
这种试验称为伯努利概型,或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率,则 发生的概率为 ,用 表示 重伯努利试验中 出
现 次的概率,
, 。
第二章 随机变量及其分布
(1) 设离散型随机变量 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概
离 散 率为
型 随 P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
机 变 则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:
量 的 。
分 布 显然分布律应满足下列条件:
律
(1) , , (2) 。
(2)设 是随机变量 的分布函数,若存在非负函数 ,对任意实数 ,有
连 续 ,
型 随 则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
机 变 密度函数具有下面 4 个性质:
量 的 1° 。
分 布 2° 。
密度
(3)
离 散 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用
与 连 相类似。
续 型
随 机
变 量
的 关
系
(4)设 为随机变量, 是任意实数,则函数
分 布
函数 称为随机变量 X 的分布函数,本质上是一个累积函数。
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可以得到 X 落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(– ∞,x]内的概率。
分布函数具有如下性质:
1° ;
2° 是单调不减的函数,即 时,有 ;
3° , ;
4° ,即 是右连续的;
5° 。
对于离散型随机变量, ;
对于连续型随机变量, 。
(5)0-1 P(X=1)=p, P(X=0)=q
八 大 分
分布 布
二 在 重贝努里试验中,设事件发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量,设为 ,
项 则 可能取值为 。
分 , 其中 ,
布 则称随机变量 服从参数为 , 的二项分布。记为 。
当 时, , ,这就是(0-1)分布,所以(0-1)分布是二项分布的特例。
泊 设随机变量 的分布律为
松 , , ,
分 则称随机变量 服从参数为 的泊松分布,记为 或者 P( )。
布 泊松分布为二项分布的极限分布(np=λ,n→∞)。
超
几 随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布,记为 H(n,N,M)。
何
分
布
几 ,其中 p≥0,q=1-p。
何 随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。
分
布
均 设随机变量 的值只落在[a,b]内,其密度函数 在[a,b]上为常数 ,即
匀
分
布 a≤x≤b
其他,
则称随机变量 在[a,b]上服从均匀分布,记为 X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
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