【概率论与数理统计】是数学的一个重要分支，它在计算机科学（cs）领域有着广泛的应用，特别是在数据科学、机器学习以及统计分析等方面。以下是一些关键概念和公式：
1. **随机事件与概率**：
- **并集与交集**：两个事件A和B的并集AU B表示A或B至少发生一个，交集AB表示A和B同时发生。德摩根定律指出，对于任意两个事件A和B，非A并集非B等于B的补集，即`A'U B' = (An B)'`。
- **古典概型**：如果所有可能的结果是等可能的，那么事件A发生的概率可以用包含A的基本事件数除以总的基本事件数来计算，即`P(A) = m/An`。
- **几何概型**：在连续试验中，首次出现某一特定结果的概率可以用该结果的几何度量（如长度、面积、体积）除以总度量来计算，即`P(A) = 1 - P(A')`。
2. **概率公式**：
- **加法公式**：如果事件A和B互斥，即A发生时B不能发生，那么`P(A+B) = P(A) + P(B)`。
- **减法公式**：若A包含B，`P(A-B) = P(A) - P(B)`表示A但不是B的概率。
- **条件概率**：已知B发生的情况下A发生的概率是`P(A|B)`，根据乘法公式有`P(AB) = P(A) * P(B|A)`。
3. **全概率公式和贝叶斯公式**：
- **全概率公式**：通过所有可能的原因B_i计算结果A的概率，即`P(A) = ∑ P(B_i) * P(A|B_i)`，用于从结果找原因。
- **贝叶斯公式**：由结果A反向计算原因B的概率，`P(B|A) = [P(B) * P(A|B)] / [∑ P(B_i) * P(A|B_i)]`，又称逆概率公式。
4. **随机变量及其分布**：
- **分布函数**：F(x)定义了随机变量X小于或等于x的概率，`F(x) = P(X ≤ x)`。
- **概率密度函数**：对于连续型随机变量，f(x)描述了在x处的概率密度，`∫ f(x) dx = 1`。
- **离散型随机变量**：常见的有二项分布（binomial distribution）、泊松分布（Poisson distribution）等，它们的分布律描述了每个值k发生的概率。
- **连续型随机变量**：如均匀分布（uniform distribution）、指数分布（exponential distribution）、正态分布（normal distribution），它们的密度函数描述了变量取值的概率分布。
5. **随机变量函数的分布**：
- 当随机变量X经过函数g变换后得到Y，Y的分布可以通过X的分布来确定，具体方法包括分布函数法和公式法。
6. **多维随机变量及其分布**：
- **二维随机变量**分为离散型和连续型，其分布涉及到联合分布函数、边缘分布函数和条件分布函数。离散型的分布律给出所有可能的(X, Y)值的概率，连续型则涉及联合密度函数。
理解这些概念和公式是概率论与数理统计的基础，它们在处理不确定性和数据分析时至关重要。在计算机科学中，这些理论常用于模拟、预测模型、机器学习算法的构建以及统计推断。
