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概率论与数理统计 计算公式.docx
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概率论与数理统计公式集锦
②性质:
E(C) C,
,
E(CX ) CE(X )
,
E(X Y) E(X ) E(Y)
分布名称
密度函数
分布函数
E[E(X )] E(X )
E(aX b) aE(X ) b ,当 X、Y 相互独立时: E(XY) E(X )E(Y)
, x 0
e
x
1 ,
e
x
x
0
0
指数分布
x
f (x)
F
(x)
2、方差
①定义: ( )
X e()
0,
0
x
D X E X E X
[(
( )) ]
E X E (X )
(
)
2
一、随机事件与概率
2
2
1
( x )
2
2
2
1
②性质: D(C) 0 , D(aX b) a D(X ) , D(X Y) D(X ) D(Y) 2Cov(X ,Y)
(t )
2
d
t
2
2
2
正态分布
f
( x )
e
e
公式名称
公式表达式
( )
F x
x
2
当 X、Y 相互独立时:
D(X Y) D(X ) D(Y)
2
N( ,
2
)
德摩根公式
A � B A � B A � B A �
B
,
X
x
3、协方差与相关系数
①协方差:
Cov(X ,Y ) E(XY ) E(X )E(Y ) ,当 X、Y 相互独立时:Cov(X ,Y) 0
A
包含的基本事件数
基本事件总数
m
n
古典概型
P(A)
1
2
x
( x )
e
1
1
2
②相关系数:
Cov(X ,Y)
,当
X、Y
相互独立时:
0
(X,Y 不相
关)
2
标准正态分布
X N(0,1)
2
(x)
x
e
t
dt
XY
(A)
,其中μ为几何度量(长度、面积、体积)
2
XY
几何概型
求逆公式
P(A)
D(X ) D(Y)
2
( )
x
③协方差和相关系数的性质:Cov(X , X ) D(X ) , Cov(X ,Y) Cov(Y, X )
P( A ) 1 P( A)
4、随机变量函数 Y=g(X)的分布
Cov(X X ,Y) Cov(X ,Y) Cov(X ,Y) , Cov(aX c,bY d) abCov(X ,Y)
1
2
1
2
离散型:
,
P(Y y )
p ,i 1,2,
j
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当 P(AB)=0 时,P(A∪B)=P(A)+P(B)
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
加法公式
减法公式
i
g ( x ) y
i
分布
0-1 分布
b(1, p)
数学期望
方差
p(1-p)
np(1-p)
j
连续型:①分布函数法,②公式法
f ( y) f (h( y)) h( y) (x h( y)单调)
P(A-B)=P(A)-P(AB),
时 P(A-B)=P(A)-P(B)
p
B A
Y
X
三、多维随机变量及其分布
二项分布
b(n, p)
P(AB)
np
P(B A)
P(AB) P(A)P(B A) P(B)P(A B)
条件概率公式
与乘法公式
1、离散型二维随机变量及其分布
分布律:
P(A)
泊松分布
P()
均匀分布U(a,b)
正态分布
p
分布函数
P( X x , Y y ) p , i, j 1, 2,
F ( X ,Y )
P(ABC) P(A)P(B A)P(C AB)
i
j
ij
ij
a b
x x y y
i
i
边缘分布律:
2
12
2
n
p P(X x )
p
p P(Y y )
p
P
( A)
P(B )P( A B )
全概率公式
贝叶斯公式
i
i
ij
j
j
ij
2
N(, )
i
i
j
i
i1
p
ij
p
ij
p
i
1
1
条件分布律:P(X x Y y )
,i 1,2, , P(Y y X x )
, j 1,2,
e( )
指数分布
P(B )P( A B )
p
i
j
j
i
2
P(B A)
i
i
j
2、连续型二维随机变量及其分布
①分布函数及性质
i
n
(
逆概率公式
)
P(B )P( A B )
五、大数定律与中心极限定理
i
i
i1
两个事件
相互独立
分布函数:
x
y
F ( x, y)
f (u, v)dudv
P(AB) P(A)P(B);
; P(B A) P(B A) ;
1、切比雪夫不等式
P(B A) P(B)
D
(X)
2F (x, y)
若
对于任意
有
E(X ) , D(X ) 2 ,
0
{ ( ) }
P X E X
性质:
F ( , ) 1,
f (x, y), P(( x, y) G )
f (x, y)dxdy
二、随机变量及其分布
2
相互独立,
xy
G
2、大数定律: ①切比雪夫大数定律:若
X � X
1、分布函数
②边缘分布函数与边缘密度函数
1
n
1
n
1
n
P(X x )
x
分布函数: F ( x)
f (u, v)dvdu 密度函数: f ( x)
f ( x, v)dv
E(X ) , D(X )
2
且
2
C
i
,则:
X
P
E(X ), (n
)
k
X
X
i
i
i
i
n
i
n
i
F(x) P(X x)
, P(a X b) F(b) F(a)
x
k
x
i1
i1
y
x
f (t)dt
F ( y)
f (u, v)dudv
f ( y)
f (u, y)du
②伯努利大数定律:设 n 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数,p 是事件 A 在
A
Y
Y
n
2、离散型随机变量及其分布
分布名称
③条件概率密度
lim P
p 1
每次试验中发生的概率,则 0 ,有:
A
分布律
n
f (x, y)
f (x, y)
n
f
(y x)
, y , f (x y)
, x
0–1 分布
X b(1,p)
Y X
f (x)
X Y
f (y)
P( X k) p
k
(1 p)
1k
, k 0,1
1
X
3、随机变量的独立性
Y
X , , X
n
③辛钦大数定律:若
独立同分布,且 ( )
,则
X
E X
i
P
1
n
i
n
n
二项分布
X b(n, p)
随机变量 X、Y 相互独立 F(x, y) F (x)F (y) ,
i
1
P(X k) C
k
p
k
(1 p)
n k
, k 0,1,� ,n
3、中心极限定理
X
Y
n
离散型: p p p ,连续型: f (x, y) f (x) f (y)
ij
i. . j
X
Y
①列维—林德伯格中心极限定理:独立同分布的随机变量 X (i 1,2, ) ,均值
4、二维随机变量和函数的分布
泊松分布
P( )
i
k
~
P(X k)
e , k 0,1,2,
离散型:
X
n
P(Z z )
P(X x ,Y y )
为 ,方差为
0 ,当 n 充分大时有:
k!
2
Y ( X n) n N(0,1)
k
i
j
n
k
x y z
k 1
i
j
k
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理:随机变量 ~ ( , ) ,则对任意 x 有:
X B n p
连续型: f (z)
f (x, z x)dx
f (z y, y)dy
Z
2
分布名称
密度函数
分布函数
X np
1
lim P{
x}
x
e
t
dt (x)
四、随机变量的数字特征
2
0,
x a
, a x b
x b
np(1 p)
2
1
n
, a x b
x a
1、数学期望
均匀分布
b n
a n
n
f (x)
b a
F (x)
n
P(a X b) (
) (
)
③近似计算:
b a
1,
0,
其他
X U(a,b)
n
①定义:离散型 E ( X )
x p ,连续型 E ( X )
xf ( x)dx
k
k
k
k1
k 1
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