第1章立体几何初步第23课时立体几何复习课同步练习（必修2）.doc

立体几何是数学中的一个重要分支，主要研究三维空间中的几何形状、位置关系以及度量性质。在初高中数学学习中，立体几何是不可或缺的部分，它涵盖了点、线、面的关系，空间几何体的性质，以及相关的计算问题。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释： 1. 经过空间任意三点作平面：根据平面公理，空间中任意不共线的三点可以确定一个唯一的平面。因此，答案是A.只有一个。 2. 长方体对角线的长度：两个完全相同的长方体组合后，新长方体的最长对角线即为两个长方体对角线的组合，按照勾股定理，最长对角线长度为 \( \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} + \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = 2\sqrt{55} \) cm，因此答案是C. cm55。 3. 直线与平面的关系：对于直线m、n和平面α、β，A、C选项符合线面垂直和平行的性质，B选项错误，因为m可能与n平行或异面；D选项正确，m垂直于平面β内的直线，所以α垂直于β。故不正确的命题是B。 4. 正三棱柱的角：正三棱柱的侧面与底面所成的角，即侧面的斜高与底面边长之间的角度。若设底面边长为a，侧棱长为h，那么由题意得 \( \cos(\angle ABC) = \frac{1}{2} \)，所以 \( \angle ABC = 60° \)。答案是A.60°。 5. 正三棱锥的二面角：正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为θ，相邻两侧面所成的二面角为φ，已知 \( \cos θ = \frac{1}{3} \)，则 \( \sin θ = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)，因此 \( \cos φ = \pm \sqrt{\sin^2 θ - (\cos θ)^2} = \pm \sqrt{(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 - (\frac{1}{3})^2} \)。由于相邻两侧面所成的二面角为锐角或钝角，所以 \( \cos φ = \frac{2}{3} \) 或 \( -\frac{2}{3} \)。答案是C. 21/31。 6. 平行平面间的距离：线段AC、BD在平面β上的射影长的和为14，已知AC=13，BD=15，设α、β间的距离为d，根据投影的性质，有 \( 13\cdot d + 15\cdot d = 14 \)，解得 \( d = \frac{14}{28} = \frac{1}{2} \)。因此，α、β间的距离是1/2。 7. 二面角的平面角：点P到两个平面的距离分别为1、3、2，设二面角的平面角为α，根据比例关系有 \( \tan \frac{α}{2} = \frac{1}{3} \)，通过半角公式可得 \( \tan α = \frac{2\tan\frac{α}{2}}{1-\tan^2\frac{α}{2}} = \frac{2\cdot\frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{4} \)，所以平面角是 \( \arctan\frac{3}{4} \) 度，约为36.87度。 8. 球面距离：在北纬60°圈上，两点弧长为 \( \frac{2\pi R}{3} \)，球面距离是大圆弧的中心角的一半，所以甲乙两地的球面距离是 \( \frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi R}{3} = \frac{\pi R}{3} \)。 9. 点O到平面的距离：点O到平面α的距离是O到平面内任意一点的垂线段的长度。在直角三角形OAB中，OA=OB=25，AB=20，由勾股定理得 \( OC = \sqrt{25^2 - 10^2} = 15 \)，因此点O到平面的距离是25。 10. 正四棱柱的相关问题： - ① A1C与平面AEF的垂直关系：由于AE⊥A1B，AF⊥A1D，且底面是正方形，所以A1C是底面的对角线，它垂直于面AEF。 - ② 二面角A-EF-B的大小：可以先求出EF的长度，然后构建垂直于EF的辅助线，通过解三角形计算二面角的大小。 - ③ B1到面AEF的距离：利用等体积法，计算点B1到底面AEF和B1D1C1的面积，然后求解高度。 - ④ 分割后的体积比：V上是正四棱柱被平面AEF切去的部分，V下是剩下的部分，根据体积公式计算。 以上是立体几何初步复习中涉及的知识点详解，包括平面的确定、长方体对角线的计算、直线与平面的关系、几何体的角和距离等。在解答这些问题时，要灵活运用几何定理和性质，进行空间想象和推理。