《黎曼曲面导引》作者: 梅加强 出版年: 2013年

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黎曼曲面导引 出版时间:2013年版 丛编项: 北京大学现代数学丛书 内容简介   《黎曼曲面导引/北京大学现代数学丛书》介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要讨论单值化定理,对于紧致黎曼曲面则主要围绕Riemann-Roch公式的证明和应用展开讨论。全书共分五章,第一章介绍复分析中的一些预备知识并证明Riemann映照定理,第二章利用Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类,即单值化定理,第三章给出Riemann-Roch公式的经典证明,并讨论这个公式的大量应用,第四章引入全纯线丛,层和层的上同调的概念,并利用这些概念重新将Riemann-Roch公式解释为一个指标公式.第五章讨论黎曼
北京大学现代数学丛书 PEKING UNIVERSITY SERIES IN CONTEMPORARY MATHEMATICS 黎曼曲面导引 梅加强著 出点大浮出版社 PEKING UNIVERSITY PRESS 图书在版编目(CIP)数据 黎曼曲面导引/梅加强著.一北京:北京大学出版社,2013.10 (北京大学现代数学丛书 ISBN978-7-301-20053-7 Ⅰ.①黎…Ⅱ.①梅…Ⅲ.①黎曼面-高等学校-教学参考资料 Ⅳ.①O17451 中国版本图书馆CIP数据核字(2012)第006875号 书名:黎曼曲面导引 著作责任者:梅加强著 责任编辑:曾琬婷 标准书号:ISBN978-7-301-20053-7/O·0862 出版发行:北京大学出版社 地 址:北京市海淀区成府路205号100871 网 址:htt:!www.pup.cn 电子信箱:zpup@pup.cn新浪官方微博:@北京大学出版社 电 话:邮购部62752015发行部62750672编辑部62767347 出版部62754962 印刷者:北京大学印刷厂 经销者:新华书店 965mm×1300mm16开本15.5印张221千字 2013年10月第1版2013年10月第1次印刷 定价:6500元 未经许可,不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容. 版权所有,侵权必究 举报电话:010-62752024电子信箱:fa@pup.pku.edu.cn “北京大学现代数学丛书” 编委会 主编:田刚 编委:田刚张继平鄂维南刘小博 黄一知韩青郭岩夏志宏 许进超范辉军 执行编辑:范辉军 不小不示业示示 内容简介 本书介绍黎曼曲面的基本理论.对于一般黎曼曲面主要 讨论单值化定理,对于紧致黎曼曲面则主要围绕Rim tRoh公式的证明和应用展开讨论,全书共分五章第一章介 绍复分析中的一些预备知识并证明 Riemann映照定理第二 2章利用 Perron方法给出单连通黎曼曲面的分类,即单值化定 理.第三章给出 Riemann-Roch公式的经典证明,并讨论这个 公式的大量应用。第四章引入全纯线丛,层和层的上同调的 2概念,并利用这些概念重新将 Riemann-Roch公式解释为一 个指标公式.第五章讨论黎曼曲面以及全纯线丛上Hrmt度 量的几何性质,并介绍 Hodge定理,对偊定理和消没定理 这些定理都可以推广到高维的复流形上 本书结合了几何和分析的观点,语言简洁,内容丰富,适合 自学在引进抽象的概念时,往往辅以许多具体的实例来说明 问题.掌握了黎曼曲面上的这些抽象概念以后读者可以自然地 过渡到一般复流形的学习.同时,本书可以作为研究复几何和 代数几何相关领域的入门读物 》 序 经过近20年的发展,中国数学取得了长足的进步。中国在数学 后备人才培养和学术交流等方面做出了不少突出的成绩,成为国际数 学界不可忽视的力量。每年,全国各大高校、科研院所举办的各类数 学暑期学校、讲座、讨论班,既有基础数学知识的讲授,也有最新国际 前沿研究的介绍,受到师生、学者的热烈欢迎。这些学术活动不仅帮 助广大师生、科研人员进一步夯实数学基础,也为他们提供了一个扩 展视野、接触数学前沿的绝佳机会,对中国现代数学的发展起到了重 要的推动作用。 在中央政府和北京大学的支持下,北京国际数学研究中心于2005 年成立。北京国际数学研究中心借助自身的独特优势,每年邀请众多 国际一流数学家前来参加或主持学术活动,在国内外产生了广泛影响 北京国际数学研究中心与北京大学数学科学学院密切合作,每年通过 特别数学讲座”、教育部“拔尖人才”计划等形式,邀请国际著名数学 家前来做系列报告,讲授基础课程,与师生互动交流,反响热烈。2009 年,北京国际数学研究中心启动“研究生数学基础强化班”,在全国各 大高校挑选优秀研究生和高年级本科生到北京大学进行一个学期的集 中学习,这亦是我们人才培养的一个新的尝试。目前,已有不少“强化 班”的学生取得了前往世界著名院校学习的机会。毋庸置疑,北京大 学数学学科在学术交流和人才培养方面取得了很多卓有成效的经验, 做出了令人瞩目的成绩。 “北京大学现代数学丛书”主要面向数学及相关应用领域的高年 级本科生、研究生以及科研人员,以北京大学优秀数学讲座、暑期学 校、“研究生数学基础强化班”等广受师生好评的项目活动的相应讲义 il序 为基础内容,同时也吸收了其他高校的优秀素材。我们希望“北京大学 现代数学丛书”能帮助青年学生和科研人员更好地打实数学基础,更 深刻地理解数学前沿问题,进而更有效地提高研究能力。 2012年10月10日 北京大学镜春园 前言 黎曼曲面的理论可以回溯到 Riemann(黎曼), Jacobi,Abel, Weier strass, Hurwitz等人所做的基础性贡献.自从H.weyl在1913年给出 抽象黎曼曲面的近代定义以来,微分流形以及基于微分流形的几何学 和拓扑学取得了蓬勃的发展,许多经典的结果以新的面目出现并得到 了极大的推广,近代的分析工具,代数工具,几何和拓扑工具在这个过 程逐渐发展和融合.通过学习黎曼曲面,可以初步体会近代数学的思想 和方法,为进一步的专门化学习和研究提供有益的帮助. 本书是近若干年来作者在南京大学等地为数学系高年级本科生 和研究生讲授黎曼曲面理论而逐渐积累起来的一份讲义.黎曼曲面可 以从好几个方面来学习和研究,我们在本书中主要采用几何分析的观 点,同时也兼顾较初步的代数方法.本书主要的结果是单值化定理, Riemann-Roch公式及其应用.围绕着这两个主要结果,我们引入了近 代几何与拓扑的若干概念.这些概念以及我们所采用的证明方法大多 数可以推广到高维的情形,我们的想法是读者可以把本书作为通往复 几何甚至代数几何的一个小小阶梯 本书主要内容如下:第一章基本上是关于复变函数的简单复习, 其中给出了单值化定理的简单情形,即 Riemann映照定理的证明.这 章也得到了调和函数的梯度估计和 Harnack原理.我们所采用的方 法可以推广到一般的黎曼流形上.第二章引入了抽象黎曼曲面的定义, 并给出了单连通黎曼曲面的分类(单值化定理),其中也对一类重要的 紧致黎曼曲面—黎曼环面加以了分类.证明单值化定理的方法是 通过调和函数(可能带有奇点)来构造特殊的全纯映射.而调和函数的 存在性是通过经典的 Perron方法获得的.第三章是本书的核心内容之 在这一章中,我们给出了 Riemann-Roch公式的证明,并选择了若 干有意思的应用加以介绍.我们选择的 Riemann-Roch公式的这个证 iv前言 明也是经典的,它涉及某些给定奇性的亚纯微分的存在性.这种亚纯 微分的存在性是通过 Hodge定理获得的.为了尽快地介绍 Riemann- Roch公式的应用,我们把重要的 Hodge定理的证明放在本书的附录 B中.通过 Riemann-Roch公式,我们知道了紧致黎曼曲面上亚纯函 数的丰富性,也证明了亚纯函数域是一个一元代数函数域,并且它唯 一地决定了黎曼曲面本身.作为例子,我们简单介绍了黎曼环面上的 亚纯函数,它们就是经典的椭圆函数.通过适当地挑选亚纯函数,我 们把黎曼曲面全纯地嵌入到复投影空间中,因此可以从代数曲线的角 度来研究它们我们还介绍了计算总分歧数的 Riemann- Hurwitz公式, 并利用它简单研究了超椭圆型的黎曼曲面.接下来我们介绍了曲面上 的 Weierstrass点,得到了 Weierstrass点的个数估计.这些结果又被应 用于曲面的全纯自同构群.特别地,我们证明了亏格大于1的紧致黎 曼曲面全纯自同构群的阶的估计.作为第三章的结束,我们还介绍了 重要的双线性关系和 Jacobi簇,证明了关于主要因子的Abel定理和 Jacobi逆定理.第四章和第五章可以看成是一维复几何的一些入门介 绍,主要的目的是将 Riemann-Roch公式重新解释为一个指标公式.围 绕着这一目的,我们引入了一维复几何的一些基本概念.例如,在第四 章中,我们介绍了曲面上的全纯线丛,讨论了因子和全纯线丛之间的关 系;然后介绍了层的概念,引出了层的上同调群,分析了几种不同的上 同调群之间的关系.层的概念是在研究黎曼曲面和更一般的代数几何 中自然出现的,我们这里只做了简要介绍.第五章研究全纯线丛的复 几何,介绍了重要的 Hodge定理,Sere对偶定理及消没定理.对线丛 的第一陈类也做了具体介绍,并证明了重要的 Gauss-Bonnet公式 毫无疑问,这样一本小册子无法囊括关于黎曼曲面的所有重要结 果.例如,关于非紧的黎曼曲面只研究了单连通的情形.从代数曲线的 角度来理解黎曼曲面也只包含了零星的几个结果最重要的也许是没 有介绍黎曼曲面上的双曲结构和复结构的模空间理论,因此也没有引 入 Teichmuller空间.我们希望今后能继续补充编写这些重要的结果 阅读本书前如果具有微分流形和代数拓扑的基础可能会对读者更 有帮助.当然,复分析是读者必备的预备知识.作者在每一小节后均提

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