《微分几何》是Wilhelm Klingenberg撰写的一本专业数学教材,属于Springer出版社的“Graduate Texts in Mathematics”系列第51卷。这本书由David Hoffman翻译成英文,并在1978年由Springer Science+Business Media出版。图书的国际标准书号(ISBN)为978-1-4612-9923-3。 微分几何是数学的一个分支,主要研究流形上的几何结构,特别是通过微积分方法来研究几何问题。这本书适合第一年的研究生课程,提供了深入学习微分几何的基础。它涵盖了流形、向量场、张量、联络、曲率和特征类等核心概念。 书中可能包含以下关键知识点: 1. **流形**:微分几何的基本对象,可以看作是在局部类似于欧几里得空间的拓扑空间。流形允许我们定义和研究各种几何和分析概念。 2. **向量场和张量**:流形上的向量场描述了空间中的方向和运动,而张量是一类在流形上定义的多线性映射,它们可以用来表达物理定律或几何不变量。 3. **联络**:联络定义了如何在流形上平行移动向量,它是理解曲线、曲面和更高维结构的关键工具。 4. **曲率**:联络的曲率描述了流形的局部弯曲性质。例如,Riemann曲率张量提供了衡量局部曲率的工具。 5. **纤维丛**:这是一种数学构造,用于研究具有附加结构的流形,如向量场、联络或微分形式的空间。 6. **特征类**:这些是拓扑不变量,可以帮助区分不同的几何结构。例如,Chern类和 Pontryagin类在研究流形的拓扑性质时发挥重要作用。 7. **黎曼几何**:这是微分几何的核心部分,以Georg Friedrich Bernhard Riemann的名字命名,研究的是带有黎曼度量的流形,它定义了距离和角度的概念。 8. **拓扑**:微分几何与拓扑学紧密相关,特别是在研究流形的全局性质时,如基本群、同调群和斯科洛瓦分类。 9. **微分方程**:书中提到的Hurewicz的《Lectures on Ordinary Differential Equations》可能作为参考,说明微分几何与微分方程理论的结合,特别是在处理动力系统和演化方程时。 10. **表面理论**:Massey的《Algebraic Topology》可能是对表面的拓扑特性的介绍,这在低维微分几何中至关重要。 这本书不仅适合初次接触微分几何的学生,也可能对有经验的研究者提供有价值的参考资料。每个章节都可能涉及大量的计算和证明,以帮助读者理解和应用这些理论。通过阅读和研究,学生将能够掌握微分几何的基础,为进一步研究更复杂的几何理论和应用打下坚实基础。
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