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微分几何基础 评分

经典微分几何基础讲义,对需要学习微分几何的人来说可以提供不少帮助
是函数在6的值减去函数在a的值,等于这个定积分 definite integral).所以 从这个关系知道要求积分的话,只需要求一个函数,它的微分是已知的就 是∫(x)、即微分是已知的.所以这样微分跟积分连起来了.互相的,积分等 于微分的反运算,有了f(x),要找一个函数,它的微分等于f(x),是个反运算 因此微、积分有密切的关系 3多元微积分 上面讲的是一个变数的微积分.下面讲高维的,要多变数的.多变数的话, 有新的现象,是什么样的呢?我想对于多变数的,我们先不看别的,先看两 个变数的情形,x龈y,那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分, 等于x跟y分开求徵分.积分的观念推广是重积分.二重积分( double integral) 是在2维的情形,在高维的情形是多重的.先看2维,2维的情形就有了区域 我们叫它Δ.那么它的边界叫它.所以积分的个目然推广是个2重积分, 普通积分把x分成小段,然后取小段再乘|这个函数,求一个和.在2重积分 的时候,方法也是把区域分成小垬,然后取每一小块的面积,在其上函数值 乘它的面积,然后求它的和.很不得了的,假使函数好的话,尤论你如何圈 你的区域极限是一样的,所以这极限就是2重积分 f(c, y)d cdy 在2维的时候,甚全高维的时候,一个重要的现象是,我们现在有2个变数x,y, 换变数怎么样?所以我现在换变数,换变数当然是在微积分里是很重要的 一个办法,因为很多的问题是看你的变数是否选择得适当,有时换变数,问 题就立刻简单化了,就可以解决了.现在我换变数 y=y(r,y) 其中,(x′,y)是另外一组坐标.我们发现一个事实,在高维的时候,微分的乘 法,我们写成c∧dy,这是一个乘法,怎么乘呢?dx∧dy在微积分上是最微 妙的观点.什么叫微分?什么是dx?这个是困扰了数学家几百年的事.怎么 样定微分的定义跟究竟什么是dx,这个很麻烦,可以做到很满意,不过把它 讲清楚需要有一定的时间.所以我马马虎虎说有一个dx.在dx,y这种微分 之问要建立乘法∧.什么叫 d. n dy?这个问题更复杂了,你如果dx,dy本身 是什么都不清楚,乘了以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题.在这方 面有个大的进步,就是引进外代数和外微分.假定dxy这个乘法是反对 称, dx^dy=-dy∧d 这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然d∧dx=0.事 实上,因为dx∧dx=-dx^dx,所以dxdx=0,在反对称的乘法之下, 把dxdy看成变数,因为乘法是反对称的,dx2=0,所以就没有高次的东西 这样得到的代数叫做外代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换 变数公式为 dx∧dy a(a, y) dx'∧dy. (1.6 假使我们的微分用的是偏微分,所以 dax 2 r'i-du 1. 现在用外乘法一乘,dxAd=dy/Ady′=0.而dxdy/因为乘法是反对称 的,所以是刚好乘以x=(x1,),y=(x,y)的雅可比am,这个符号是 雅可比,是四个偏微分所成的行列式,所以 dlm∧d C, y dx∧y. (x,y/) 这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系我们知道重积分要是换变数的 话,它应该乘上雅可比.所以这个结论就是,对重积分的 Integral,即积分下 的式子,把积分号丢掉, Integral是一个微分多项式,乘法是反对称的.所以 假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的 jIntegral可看成是外代 数的多项式,那么换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通 常,你要证明换变数的公式的时候,假定雅可比是止的,不然的话,乘上雅 可比的绝对值.使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个 向( Orietation),你转的时候,有2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向 的话,雅可比是负值,肉此我们一个结论是多重积分的 Integral应该是一个外 代数多项式,是dx,dv的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的, 百然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的外乘法是妙得很呐,是 不会有高次的,所以比较简单,平方下,就是0 4外微分 上面讲了这么样一种关系,甚至这关系还更要好,我们讲高等徵积分的时候, 个重要的定理是格林定理(reo' s Theorem).就是说,假使你有个区域, 在边界上的微分是可以变为区域上的微分,是一个一重积分和二重积分的 关系,这是个非常重要的关系.比方龚升教授有木小书,讲到这个关系,他 认为这是整个微积分的基本定理,我是冋意的.这样的关系现在通常写格林 定理的时候,往往是写成有积分, Ad a+ bdy 如果有一个问题,有时候你可以只管 Integral,不要管其它,那么 Integral就是 把一个一次微分式变为两次微分式,这怎么变呢?公式定理是这样子:我就 引入个外微分,我们刚才讲xAdy是个多项式,是个外代数的个 式子,就象我们普通多项式一样不但如此,对于这样的式子,我们还可以定 义它一个微分, d( ad Bdy)=dAnd.+dB Ady= Agdy A.+B2d:A dy.(1.10 叫外微分( Exterior differential calculus).外微分很简单,假设有Adx+Bdy, 它的微分就是微分它的系数,也就是微分函数.A与B是x,y的函数,所以 就微分A,B.A的微分就是Adx+A2dy,B的微分就是Bnd+B2dly,可 是A2 dxa dx=0就得到A2 dy a da,第二项就得Badx∧dy.但是因为乘法是 反对称的,所以就得(B2-A),这是格林定理里头2重积分的系数,所以格林 定理把单次积分变成两次积分,它的 Integra实际上是个外微分.可以看出外 微分是很妙的东西,因此你可以把积分号丢掉,就说我们拿dx,d造个外 代数,对这个外代数有个外微分,外微分很简单,就是假使微分各项的时侯, 其实是对每项系数微分,结果我得到一个多项式,这个多项式的次数高 个.作为函数就变为一次微分式了,所以次数高一个,因此就作为原来是k次 的话得到个k+1次的微分式,这个是格林定理中如何把曲线微分的微分 式变为区域微分式,一重微分变为二重微分的公式.这个就很好了,因为这 里面有一个外代数,所以把这个微分式乘起来,用一个外乘法,微分的乘法 是反对称.然后呢,现在我有一个微分,它把k次的外微分式变为k+1次的 外徵分式,这样子就把这个外微分式中间给了一个新的结构,可以微分,这 个微分跟普通的微分不一样,它是把k次变为k+1次,微分一般地总是加 次.这个外微分是最早时候 Frobenius, Darboux和我的老师 Elie cartan引进 来的.他们最初引进这个观念是对于一次微分式,是 frobenius, Darboux 入的一次徵分式.而 Eliec artan是法国的教授,是我的老师,他恐怕是 十世纪,也就是个世纪最伟大的儿何学家,法国巴黎大学的教授.我想这 种教授很是模范,他不做别的活动,专做数学,时常功课是完全新的.有一 年,他给了一门课,是《解析力学》( Analytical mechanics),他把外微分的 观念从 Frobenius, Darboux从一次式的定义推广到高次式,所以整个的外微 分是 Elie cartan引进来的,这是有用的东西.这个外微分有奇怪的现象:是 用两次之后等于0 (1.11 即这个外微分用两次等于0.我们要证明(1.11),就是对无论个k次微分式 微分一次就变为k+1次,两次就变为k+2次徵分式它一定是0.要证明这 点,我证明对于函数对了,就行了.所以我要证明对于任意的函数f,把 这个d,外微分川两次,就等于0,即n2f=0就行了.那么为什么呢?因为 显然我要证明d2=0,只要证明正作用在只有项上对就行了,这是因为它 是线性的所以如果线性一项有这个性质,那么整个的和就等于0.那么 项的话,都是一个函数乘上一组dx,我现在选dx;,就是假定在高维,在n维, r就是m1到xn,在高维时,如果有一个函数f,f是r1,…,mn的一个函数,对于 这个函数,用外微分两次,定等于0.事实上,因为外微分次就得到a是f 对x;的个偏微分,那么再用次呢,它的系数就是从x到x微分an,a2 是的对x:的微分所以这是对从x到x的二阶微分: Zaidi=odci n dxi (1.12) 这个函数对于i,是对称的.事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次 序没有关系,是对称的.如果一个对称的函数是d^dy的系数,而dx∧dy是 反对称的.那么它就等于0了.d是一个外微分,是对外代数的多项式的 个运算,这个运算运用两次就等于0了,这是一个了不得的关系因为几何 上讲,假使你有一个区域,你取这个区域的边界,再取这个边界的边界,就 没有边界了.假使你取的边界是整个球,那么球没有边界.所以几何上讲有 个运算求边界,求边界的话,用两次,就等于0.有一个区域的求一次边界 是一个很好的区域,即不再有边界了,这个几何的性质跟外微分的性质是对 偶的.求两次边界一定等于0,这是个几何的性质;求外微分两次等于0,是 个分析的性质.这两个东西不是两个互不相关的东西,是完全对偶的,是 凹事.一个边界通常川符号表示,边界两次等于0,即2=0.它跟外微分 是对偶的.这是个了不得的几何关系,了不得的数学上的关系,妙得不得 了,因为求边界是一个几何的问题,更是一个整体的问题,一定要拿整个区 域乘上边界,但是求外微分是个分析的问题,是个局部的问题.要外微分只 要知道这个微分式在一点附近的性质就有了.这一个局部的运算跟一个整 休的运算有这样对偶的关系是很难得的事情,是个重要的几何现象,是重 要的数学现象.为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广,就是 Stokes定 理. Stokes定理讲,假使有一个区域,把它封闭上,Δ是这样一个k维的区 域,所以它的边界就是边界∂△.那么假使有一个微分式叫做a,它的次数 是k-1(degq=k-1),于是我们就有这么个关系:a在边界的积分等 于d在Δ的积分, a= de 1.13 0△ 这是重要极了的定理,通常用 Stokes名义. Stokes是英国的应用数学家,你 们大概在这个课中匚经听到 Stokes定理. Stokes定理就把两个普通的运算, 个是等于区域的边界的运算,个是等于外微分的积分,这两个有简单的 关系.假使我们把外微分的积分写成这个关系, (△,a)=(△,da) 14 这个外微分成个矢量空间( Vector Space),可以加减,这个区域也是另外 个矢量空间也可以加减.假使这两个矢量空间经过积分,因此就有一个所 谓的“对”(pair),这个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到 个正数,得到一个数,那么 St okes定理就是说这个 paring使得对△的作用 的算子∂与外微分d是伴随的( adjoint),是对偶的“对”,这就是 Stokes定理的 意义.高维时,及任意维时都是对的龚升教授在他的小书里说,这个是微积 分的基本定理.从它就给出我们普通微积分的基本定理.因为假使k=1, 那么我们的区域是一个线段,从a到b的线段,这个线段就是△,它的边界呢, 是b点减a点.α在这里是一个函数,上次讲的da是个积分,在一维的情形就 是用到直线上.因此在一维的情形△是个线段,它的边界是b-a,c是一个函 数∫,所以dα是df,于是 (b-a,0)=(△,d)→/b)-/(a)=/0 (1.15) 这就是说函数在b点的值减去函数在a点的值等于团f在这个线段上的积分, 这个就是所谓微积分的基本定理.也就是说右边是从α到b积分lf,左边就 是f(ω)-∫f(a),这就是我们的基本定理,所以 Stokes定理是微积分的基本定 理在高维的推广.因此在多元的微积分里头也是个进步,非常有用,因为外 微分包含很多材料.有一个公式很容易明的,就是你把两个外微分的式 子α跟相乘,而求这个的外微分, da∧6)=dAB+(-1)°a∧d3, 1.16 这个公式很容易让明,因为简单地只要假定α和β都单项就行了.这是由于对 于a和β都是线性的.假定它们都是单项的,就可以写成dx1…,dxk;…,dxn, 前头乘个函数一算就可以得到了.所以它们这个乘法之间和外微分有这 样一种简单的关系.这个关系不但如此,还可以更远的,因为假使有 个运算,它的平方等于0,这是很不得了的,这个就可以造个除法.有个 商( quotient).这样得到一个除法,现在叫做同调( homology).现在许多数学 的发展都是有个运算,加两次等于0.你就能造一个 quotien t,怎么样呢,什 么叫 quotient呢?就是你把所有的满足d=0的a,被所有d3来除,即 faldo=0/d8 (1.17 要是a=d的话,因为d2=0,所以da=0.因此你取所有的所谓的闭形 式( close forn),被可以写成什么的东西来除,就得到在数学里头用一个唬 人的名字叫 homology.也就是取所有的k次的微分式,它们是封闭的(被d作 用为0),被所有的d的除,造一个商结构、这个商结构就叫做 homology.你可 以用到这个d,也可以用到这个边界.用到边界的,历史上,是在拓扑里头,先 有用边界的,因为用的是的 homology叫上同调( cohomology).这是由于历 史的关系,名字用掉了,所以叫 cohomology.这个很厉害,假使你有一个流 形,它是紧致的,它的 cohomology forn是有限维的,这个有限维的维数叫这 个空间的 Betti数( Bett i Number)这是拓扑的内容,单学微积分,可以不必 去管,不过这个领域幣个的有重要的发展,是近来数学的发展基本内容, 然很要紧了.你有一个很大的空间,所有微分式组成的空间大得不得了,它 有结构,你可以加减,也可以求外微分,大得不得了,然后呢,它有些几何的 性质取 quotient,这个 quotient是有限的,这个有限有个好处,得到数目有限, 是说有限维的维数是多少.得到一组数,这组数目就是这个空间的重要性 质,因为得知Beti数是一个整数,有一群整数很要紧,比方说,球面球面有 这种 Bet ti数,环面也有Bei数,它们是不一样,下面搞拓扑的人想法要证 明这种Beti数是拓扑不变量,因此拓扑在数学的运用中就要紧了 第二讲指数与对数函数 2001年10月19日 1本课的计划和目的 还有儿分钟,我想趁这个机会讲一讲我的计划和H的.我这个课的课时 是8个小时,但微积分大得不得了,微积分的范围很广.不要说8个小时,就 是80个小时也讲不完的.所以我当然只能讲个大概,尤其是介绍整个的有 些意义的问题.至于详细的情形我没法去多讲.不详细的定义或者证明, 我想你们已经学过微积分,所以我都不一定要给你们参考书,你们回去看 看自己以前用的书,大概在里找得到.也有我的讲的范围和内容是书 中没有的.我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在那些方而向前发 展.可以说.微积分向前发展大概有两个最重要的方面.一个是在几何的应 用.微积分在微分儿何的应用,最早是Gas.Gas许不是最早的,应该 还有别的人,如 Euler, Monge等人.不过,我想Gaus是19世纪全世界最伟大 的数学家.数学在那时候,全世界也就是西欧了.因为这个原因.德国的数 学在19世纪是全世界最好的.那时,不但有Gaus,还有Gaus影响及其学 牛.Gaus最要紧的学生就是 Riernann.因为有Gaus和 Riemann,德国的数 学就领先,领先的意思就是大家跟着他的方向去发展.在几何上的应用的发 展是很多的.当年 Einstein曾说过物理现象就是儿何现象,以此发展他的广 义相对论.广义相对论当然要用坐标, Einstein了解最初的坐标表示几何问 题,希望坐标(x,y)有几何的意义.当一个物理学家觉得应该有几何的或物 理的意义时,他做起来才比较合理.不过, Einstein慢慢了解这个做不到,因 为空间呢,来得比较复杂,它允许仟意坐标,允许坐标的仟意选择,因此也允 许坐标变换,这就是我们现在所叫的流形.流形的概念是空间概念的推广 本来用的是 euclid空间或者非欧空间等只有几个空间,现在推广的流形就整 个推广了.推广了以后,整个的空间观念在物理上影响向前发展了.因此几 何里头要描写物理现象就需要几何新的概念.除了流形之外,还有纤维丛的

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这本书是Ovidiu Furdui在过去十年中教授,研究和解决问题的成果。 本书提供了一个不寻常的问题集合,专门研究数学分析的三个主题:极限,级数和分数部分积分。 全书共分三章,每章分别讨论一个具体的题目和两个附录。 每一章都包含一些由书中的其他问题所激发的一些难题,这些难题被收集在一个题为“未解决的问题”的特别小节中,其中很少以问题出现在书中的顺序列出。 这些问题可以考虑作为研究问题或项目给有微积分背景的学生,以及喜欢数学研究和数学发现的读者。

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微分几何讲义修订版 [吴大任 编] 2014年版

微分几何讲义(修订版) 作 者: 吴大任 编 出版时间:2014 丛编项: 高等学校教材 内容简介 《微分几何讲义(修订版)/高等学校教材》是由编者在南开大学讲授微分几何课程的讲义改写而成的。第一版一度曾用《微分几何》的名称印行,本版(修订版)恢复了原来的名称。   除增添了五个附录以外,本版基本上与第一版相同。内容是三维欧氏空间微分几何学。第一章简单叙述了《微分几何讲义(修订版)/高等学校教材》所需用的有关矢函数的知识;第二章到第四章是曲线理论;第五章初步介绍可展曲面,作为曲线理论与曲面理论的桥梁;第六章到第八章是曲面理论。附录内容大部分是正文某些内容的补充,小部分是由第一版正文内容改辑而成

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大师的经典 一本微分几何的讲义 主要讲微分流形,黎曼流形,连络,李群等

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