华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)

所需积分/C币:40 2018-02-03 18:53:17 17.36MB PDF
收藏 收藏 2
举报

《曲线与曲面的微分几何》是曲线和曲面局部微分几何学和整体几何学的一本引论,是大学微分几何课程的经典教材。它的内容和取材均相当丰富,习题充足完整,许多章节知识可以籍习题向下作延伸推广。在叙述方法上与传统方式有如下不同:较广泛地应用了线性代数的基本知识,在一定程度上强调了基本的几何事实,并不陷入方法技巧或机遇性的细节中。
录 第三章Gaus映照的几何学 ↓··西·.阝··d·。db·〓}·吾◆··· 81 §芯-1引言 131 §3-2Gag映照的定和基本件质 ……,132 S33局部坐标中的〔aug映照………………………151 834向量场 ■·■■司●ψ曲鲁D血自影喜鲁 ▲·卩■4···自◆·qb §3-5直纹面和极小曲面… ………185 附录自伴随的线性映照和二次形式…… 自·『●曹喜·音·4■卩自·◆●鲁鲁卓 211 第四章曲面的内蕴几何学 ∴214 4-1引言 214 §4-2等距对应;共形映照 『·卩即■■即↓4··■■·■●■p 215 843 Gauss定理和相容性方程…… §44平行移动;测地线……………………234 §4-5 Gauss-Bonnet定理及其应用… 259 §生-6指数映照;测地极坐标 ◆鲁音昏·D··咖导加P“會望奇··看會中會pq·婚 9 §4-7测地线的一些进一步的性质;凸邻域………………293 附录曲线和曲面局部理论基木定理的证明……904 第五章整体微分几何学 810 85-2球面的刚性 §5-3完备曲面;王opf- Rino定理 320 §54弧长的第一变分和第二变分; Bonne定理……… §5-5J0bi场和共轭点 351 §56爱盖空间; hadamard定理……………………365 857曲线的整体性定理;Fary- Milnor定 ……384 §5-8 Gangs:率为零的曲面 自自4●·;血自●幽··p山p 859Jaob定理 ◆··聊·■·■··"晶·■●■■■矿↓p ……411 §5-10抽象曲面及其进一步推广… 490 §5-1H1br定理 441 附录欧氏空间的点集书扑 …………452 文献与评注… 467 提示与答案… 470 第一章曲线 §1-1引言 曲线和曲面的微分几何包折两个方面.其中一个方面是随着 微积分的出现而开始的,这部分可以称为经典微分几何,粗略地 说,经典微分几何是研究曲线和曲面的局部性质的.所谓局部性 质,推的是仅取决于曲线或曲面在一点邻近的行为的那些性质适 合于研究这种性质的方法是微分学的方法.由于这一点,在微分 几何中考虑的曲线和曲面将由一冠阶数的可微函数来定义 另一方面是称为整体微分几何的那部分,这部分研究局部性 质对整个曲线或出面的行为的影响.我们将在本书后面部分回到 微分几何的这个方面 也许经典微分几何最有越和最有代表性的部分是曲面的研 究。然而,在研究曲面时,自然念出现曲线的某些局部性质.因此 我们在第一章中将简要地论述一下曲线. 本章是以这样的方式组织的:那些主要对曲面感兴趣的读者, 可以仅仅阅读812到§1-5,§1-2到§1-4的内容基本上是介 绍性材料(参数曲线、弧长、向量积,这些材料在其他课程中可能 也有但为完整起见这里还是把它们包括进来了.§1-5是本章的 核心,它包含了研究曲面所需要的有关曲线的材料.为那些希望 对曲线这个课题了解得更深一些的读者,我们编写了§1-6和 61-7 [2 第一章曲线 §12参数曲线 我们记R9为三个实数(a,的集我们的目标是刻划R8的 某种子集(称为曲线)它们在一应意义上是一维的而且对它们可 以采用微分学的方法.定义这种子集的一种自然的途径是用可微 函数.单个实变量的实函数,如果在所有点具有任意阶的导数(它 们自然是连续的),那末我们说它是可微的(或光滑的).下面是曲 线的第一种定义,虽然它并不完全令人满意但对本章的目的是完 全合适的 定义从实直线R的一个开区间I(,b)到R器中的一个 可微映照:了→R8称为一条可微参数曲线 在这个定义中,可微的意思是指:G是一个对应,它将每个 6∈I映照到点a()注一(a(4),y(,(∈R,而函数m(4), y(),()都是可微函数.变量6称为曲线的参数,这里,区间悬 从广义的意义上说的.即包括a=-0,b=+∞o的情况 如果我们记(+)为在点的一阶导数,并且对函数y和 采用类似的记号,则向量(a(B),y(),z(0)=a()∈R8称为曲 线a在扌点的切向量(或迷度向量),象集a(刀)cRB称为a的轨 迹,正如下面的例5中所说明的那样,应该仔细地区分参数曲线 和它的轨迹,前者是一个映照,后者是R3的一个子集 关于术语的一个注意点:许多人采用无限可微这个词表示 函数具有任意阶的导数,而可微分”这个词则用来表示只要求存 在一阶导数的情况.我们不采用这种说法 例1可微参数曲线 a(t=(acost, a sint, bt), tER 的轨迹是柱面2+y2=a2上间距为2b的螺旋线。这里参数是 c轴与连接原点O和点a()在平面上的投影的直线的夹角 [注这里的α(,一服看出是一个矢量,所以我们不用,体来加以标记,希望 读者闻该时予以注意.一译者注 §12参数曲线 E11 图1-2 (见图1-1) 例映照 a.R→R2,a()=(#,t),长B 是可微珍数曲线它的轨迹如图1-2所示注意:a!(0)=(0,0), 即在0速度向量是零 例3映照 R→R3,a(+)=(3-4,却-4),长 是可微参数曲线(见图1-3).注意:(2)=a(-2)=(0,0),即映 照a不是1-1的 图 例4映照 R→乐,a()=( : ),∈R 第→章曲线 c() 图1 图1-5 不是可微参数曲线,因为|圳在t=0不可微(图1-4 例5两条相异的参数曲线 a(t=(cost, sin t) 尺(+=(0082,sin2B, 具有相同的轨迹,即圆周a2+g2-1,这里t(0-6,2m+e),e> 0.注意:第二条曲线的速度向量是第一条曲线的速度向量的两倍 (图1-6) 现在我们简要地回顾一下R影中向量内积(或点积)的某些性 质设-(%,%∈R,并定义它的范教(或长度)为 -√+饶十 u的几何意义是从点,2%)到原点O=(0,0,0)的距离 cos 8 图1 §1-2参数曲线 [3 现在设切-(v,,w)和v=(,v,"3)属于R3,设6,0≤6≤ 7,是线段On和O形成的角,内积%定义为(见图1-6) ·0=000s 这时成立以下的性质 1.假设和T是非零向量.则当且仅当v与”正交时,W 2.w。0=0 3.(v)=λ=· ·(0)=·2+·0 下面我们给出内积的一个有用的表达式,设6-(1,0,0), a2=(0,1,0),e=(0,0,1).容易证明,如果=则e=1 而如果则6·e=0,这里,j12,8.因此,若记 u=e1+82+ga,=01e1+6g+8 并运用性质8和4,我们得到 0=11+2gtu38 从上面的表达式可知:如果(和0(坊,tI,是可微曲线, 则((是可微函数,且 (v(+)·u(+)=(b·v(+()“( , 1.求参数曲线a(),其轨迹为圆x2+y2=1,并使a(块沿誉圆按顺时针方向 运动,且a(0)=(0,1) 2.设a是不通过原点的参数出线。如果a()是a的轨迹上距原点最近 0玩 育线的点且a()+0证明位置向量a()正交于a(t).w6 3试描述二阶导数a()恒等于零的参数曲线a( 4.设aI-R是参数曲线,并设v∈R3是囿定向量.假设对所有的 I,a()正交于v,且a(0)也正交于证明:对所有的1a(胡正交 们,以;=0:>下到小气以+=Cnv →斯 与设吗Ⅰ→R是参数曲线,对所有的te,(均)+0.证明:当且仅当对所 中心的国少有的,a(+)正交于a()时,|a()是非零常数 第一章曲线 §1-3正则曲线;弧长 设a.I-RB为可微参数曲线。对每个长∈,若a(t)≠0,可 以定义一条包含点(和向量a()的直线。这条直线称为a在 古点的切线.对曲线的微分几何研究,基本的一点是在每一点存 在这样条切线.因此我们称a(6)=0的点为a的奇点,而且 我们只限于研究没有奇点的曲线,注意:在81-2的例2中,点 =0是奇点 定义一条可微参数曲线a:工→RB称为是正则的如果对所 有的长∈I都有a(1)≠0 今后我们将只考虑正则的可微参数曲线(而且为方便起见通 常省略可徽二字) 给定长L,正则参数曲线c:工→R9从点如开始的孤长定义 为 s(3)=.[a(t)Idd 这里 a(4)|-√(a()2+(y()2+(z(4)2 是向量a()的长度,因为a(0,所以弧长8是步的可微函数, 且d3y砒=a(t)|. 在习题8中,我们将对上述弧长定义的合理性给出一个几何 论证 可能出现这样的情况:参数台已经是从某点起计算的弧长,在 这种情况下/=1-|a(6)|,即速度向量的长度总等于1反 之,如果|a(+)|=1,则 dt at-to 即6是a从某点起计算的弧长 为简化叙述起见,我们以后都用弧长作参数来表示曲线.后 面我们将会看到(见§1-6)这个限制不是实质性的,一般并不需 §1-3正则曲线;弧长 [7 要提到弧长8的起点,因为绝大部分概念是以a()的导数来定义 的 为方便计,我们再作一约定。给定由弧长参数s∈(,b表示 的曲线a我们可以考虑另一条由(-8)=(8)定义于(b,-0) 的曲线B,曲线B与曲线有相同的轨迹,但是按相反方向描绘 这时,我们说这两条曲线相差一个定向的改变 习题 1.证明:正则参数曲线a(t)=(3,22,30)的切线与直线y=0,男=2的夹 角是不变的 2.当cy平面上一个半径为1的圆盘沿着m轴无滑动地滚动时,圆盘的周线 a.求一参数曲线aR→R,其轨迹为此旋轮线并求出它的奇点,2k1 上一点画出的轨迹称为旋轮线(图1-7) (七-st,-t) b.计算相应于圆盘滚动一圈的旋轮线的弧长 y 图1-7旅轮线 3.设OA=2a是圆&的直径,OY和A分别是圆8在0点和A点的切 线从O点出发的半直线与相交于C,与直线AV相交于B.在OB 上截取线段0=CB.如果我们以O点为轴心旋转T,?点描绘出来的 曲线称为Dle8箋叶线,取OA为轴,OB为y轴,证明: a,c()-(x+,3x),t∈R,的轨迹是Do时线G=-a 见图1-8) b.原点(0,0)是此蔓叶线的一兮奇点 当t→∞时,a()趋于直线=2a且a(#)→(20,0).因此,当t→ x时,蔓叶线及其切线趋于直线x=20我们说x=8是此蔓叶线的 渐近线

...展开详情
试读 127P 华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)
立即下载 低至0.43元/次 身份认证VIP会员低至7折
    一个资源只可评论一次,评论内容不能少于5个字
    Damons_Sun 就是我要找的资源,已经绝版了
    2019-10-21
    回复
    • 分享宗师

      成功上传21个资源即可获取
    关注 私信 TA的资源
    上传资源赚积分,得勋章
    最新推荐
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版) 40积分/C币 立即下载
    1/127
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第1页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第2页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第3页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第4页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第5页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第6页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第7页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第8页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第9页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第10页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第11页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第12页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第13页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第14页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第15页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第16页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第17页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第18页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第19页
    华章数学译丛05-曲线与曲面的微分几何(中文版)第20页

    试读已结束,剩余107页未读...

    40积分/C币 立即下载 >