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2021-2022年收藏的精品资料高考数学理二轮专项复习专题03 三角函数与解三角形.docx
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专题 03 三角函 数与解三角形
三角函数是一种重要的基本初等函数,它是描述周期现象的一个重要函数模型,可以
加深对函数的概念和性质的理解和运用.其主要内容包括:三角函数的概念、三角变换、
三角函数、解三角形等四部分.
在掌握同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与两角差、二倍角的正弦、余
弦、正切公式的基础上,能进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明;理解并能正
确解决正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题;运用三角公式和正弦定理、余
弦定理解斜三角形.重点考查相关的数学思想方法,如方程的思想、数形结合、换元法等
§3-1 三角函数的概念
【知识要点】
1.角扩充到任意角:通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数.
2.弧度 rad 以及度与弧度的互化:
α=
l
r
; 180
∘
=π ,1 rad=(
180
π
)
∘
≈57 . 3
∘
.
3.三角函数的定义:在平面直角坐标系中,任意角
的顶点在原点,始边在 x 轴正半
轴上,终边上任意一点 P(x,y),|OP|=r(r≠0),则
sin α=
y
r
;cos α=
x
r
;
tan α=
y
x
⋅¿ ¿
4.三角函数的定义域与值域:
函数 定义域 值域
y=sinx
R
[-1,1]
y=cosx
R
[-1,1]
y=tanx
¿¿
R
5.三角函数线:正弦线
MP
,余弦线
OM
,正切线
AT
6.同角三角函数基本关系式:
sin
2
α +cos
2
α=1 ,tan α=
sin α
cosα
⋅¿ ¿
7.诱导公式:任意角
的三角函数与角
−α , π±α ,
π
2
±α
等的三角函数之间的关系,
可以统一为“k·
π
2
±
”形式,记忆规律为“将
看作锐角,符号看象限,(函数名)奇变偶不
变”.
【复习要求】
1.会用弧度表示角的大小,能进行弧度制与角度制的互化;会表示终边相同的角;会
象限角的表示方法.
2.根据三角函数定义,熟练掌握三角函数在各个象限中的符号,牢记特殊角的三角函
数值,
3.会根据三角函数定义,求任意角的三个三角函数值.
4.理解并熟练掌握同角三角函数关系式和诱导公式.
【例题分析】
例 1 (1)已知角
的终边经过点 A(-1,-2),求 sin
,cos
,tan
的值;
(2)设角
的终边上一点
P(−
√
3 , y )
,且
sin α =
√
12
√
13
,求 y 的值和 tan
.
解:(1)
r=|OA|=
√
5
,
所以
sin α=
y
r
=
−2
√
5
=−
2
√
5
5
,cosα=
x
r
=−
√
5
5
,tan α=
y
x
=2 .
(2)
r=|OP|=
√
3+ y
2
,sin α=
y
√
3+ y
2
=
√
12
√
13
,
得
{
y>0
y
2
3+ y
2
=
12
13
,解得
y=6 ,tan α=
y
x
=
6
−
√
3
=−2
√
3 .
【评析】利用三角函数的定义求某一角三角函数值应熟练掌握,同时应关注其中变量
的符号.
例 2 (1)判断下列各式的符号:
sin330°cos(① -260°)tan225° sin(② -3)cos4
(2)已知 cos
<0 且 tan
<0,那么角
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
(3)已知
是第二象限角,求角
α
2
,2 α
的终边所处的位置.
解:如图 3-1-1,图 3-1-2
(1) 330°① 是第四象限角,sin330°<0;-260°是第二象限角,cos(-260°)<0;225°是
第三象限角,tan225°>0;所以 sin330°cos(-260°)tan225°>0.
②-3 是第三象限角,sin(-3)<0;5 是第四象限角,cos5>0,所以 sin(-3)cos5<0
或:-3≈-3×57.3°=-171.9°,为第三象限角;5≈5×57.3°=286.5°,是第四象限角
【评析】角的终边所处的象限可以通过在坐标系中逆时针、顺时针两个方向旋转进行
判断,图 3-1-1,图 3-1-2 两个坐标系应予以重视.
(2)cos
<0,所以角
终边在第二或第三象限或在 x 轴负半轴上 tan
<0,所以角
终边在第二或第四象限中,所以角
终边在第二象限中,选 B.
【评析】角的终边在各个象限中时角的函数值的符号应熟练掌握,
(3)分析:容易误认为
α
2
是第一象限角,其错误原因为认为第二象限角的范围是
(
π
2
, π ),
是第二象限角,所以 2k +
π
2
<
<2k+,(k∈Z) ,所以
kπ +
π
4
<
π
2
<kπ +
π
2
,
(k ∈ Z )
如下图 3-1-3,可得
α
2
是第一象限或第三象限角,又 4k+<2
<4k+
2,2
是第三象限或第四象限角或终边落在 y 轴负半轴的角.
【评析】处理角的象限问题常用方法
(1)利用旋转成角,结合图 3-1-1,图 3-1-2,从角度制和弧度制两个角度处理;
(2)遇到弧度制问题也可以由
1 rad=(
180
π
)
°≈57.3°化为角度处理;
(3)在考虑角的终边位置时,应注意考虑终边在坐标轴上的情况.
(4)对于象限角和轴上角的表示方法应很熟练.
如第一象限角:
2 kπ <α <2 kπ +
π
2
,(k ∈ Z )
,注意防止
0<α<
π
2
的错误写法.
例 3 (1)已知 tan
=3,且
为第三象限角,求 sin
,cos
的值;
(2)已知
cosα=−
1
3
,求 sin
+tan
的值;
(3)已知 tan
=-2,求值:①
2 sin α +cos α
sin α−cos α
;② sin
2
+sin
cos
.
解:(1)因为
为第三象限角,所以 sin
<0,cos
<0
{
sin α
cos α
=3
sin
2
α+cos
2
α=1
,得到
{
sin α=−
3
√
10
10
¿
¿¿¿
(2)因为
cosα=−
1
3
<0
,且不等于-1,所以
为第二或第三象限角,
当
为第二象限角时,sin
>0,
sin α=
√
1−cos
2
α=
2
√
2
3
,tan α=
sin α
cos α
=−2
√
2 ,
所以
sin α+tan α=−
4
√
2
3
⋅¿ ¿
当
为第三象限角时,sin
<0,
sin α=−
√
1−cos
2
α=−
2
√
2
3
,tan α=
sin α
cosα
=2
√
2,
所以
sin α+tan α=
4
√
2
3
⋅¿ ¿
综上所述:当
为第二象限角时,
sin α+tan α=−
4
√
2
3
,当
为第三象限角时,
sin α+tan α=
4
√
2
3
⋅¿ ¿
【评析】已知一个角的某一个三角函数值,求其余的三角函数值的步骤:
(1)先定所给角的范围:根据所给角的函数值的符号进行判断
(2)利用同角三角函数的基本关系式,求其余的三角函数值(注意所求函数值的符号)
(3)当角的范围不确定时,应对角的范围进行分类讨论
(3)(法一):因为 tan
=-2,所以
sin α
cos α
=− 2,sin α =−2cos α .
① 原式
=
−4 cos α +cosα
−2 cos α −cos α
=
−3 cos α
−3 cos α
=1
,
② 原式=(-2cos
)
2
+(-2cos
)cos
=2cos
2
,
因为
{
sin α=−2 cos α
sin
2
α+cos
2
α=1
,得到
cos
2
α=
1
5
,所以
sin
2
α +sin α cos α =
2
5
⋅¿ ¿
(法二):①原式
=
2
sin α
cosα
+1
sin α
cosα
−1
=
2 tan α +1
tan α−1
=
−4+1
− 2−1
=1 ,
② 原式
tan (α +β )=
tan α +tan β
1−tan α tan β
⋅¿ ¿
【评析】已知一个角的正切值,求含正弦、余弦的齐次式的值:
(1)可以利用
tan α=
sin α
cos α
将切化弦,使得问题得以解决;
(2)1 的灵活运用,也可以利用 sin
2
+cos
2
=1,
tan α=
sin α
cos α
,将弦化为切.
例 4 求值:
(1)tan2010°=______; (2)
sin(−
19 π
6
)
=______;
(3)
sin(2 π −α )cos(π +α )
sin(
3 π
2
−α )sin (3 π−α )cos (−
π
2
+α )
⋅¿ ¿
解:(1)tan2010°=tan(1800°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=
tan 30
∘
=
√
3
3
(2)
sin(−
19 π
6
)=−sin
19π
6
=−sin(3 π +
π
6
)=−sin( π +
π
6
)=sin
π
6
=
1
2
或:
sin(−
19 π
6
)=sin(−3 π −
π
6
)=sin(−π −
π
6
)=sin
π
6
=
1
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