高考复习—三角函数
一、基础知识
定义 1 角:一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则
角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意
的。
定义 2 角度制:把一周角 360 等分,每 一等价为一度,弧度制:把等于半径长的
圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360 度 =2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度
数的绝对值|α|=,其中 r 是圆的半径。
定义 3 三角函数:在直角坐标平面内, 把角 α 的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半
轴重合,在角的终边上任意取一个不同于 原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点
的距离为 r,则正弦函数 sinα=,余弦函数 cosα=,正切函数 tanα=,余切函数 cotα=,
定理 1 同角三角函数的基本关系式,
倒数关系:tanα=;
商数关系:tanα=;
乘积关系:
tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;
平方关系:sin
2
α+cos
2
α=1, tan
2
α+1=sec
2
α, cot
2
α+1=csc
2
α.
定理 2 诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα;
(Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα。
定理 3 正弦函数的性质:根据图象可
得 y=sinx(x∈R)的性质如下。
单调区间:在区间上为增函数,
在区间上为减
函数,最小正周期为 2. 奇函数.
有界性:当且仅当 x=2kx+时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k-时, y 取最小值-1。
对称性:直线 x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里
k∈Z.
定理 4 余弦函数的性质:根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为
2π。奇偶性:偶函数。
对称性:直线 x=kπ 均为其对称轴,点
均为其对称中心。
有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-
1,
1]。这里 k∈Z.
定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增
函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞, +∞),点( kπ,0),( kπ+,0)均为其
对称
中心。