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弹性力学数值方法：混合元法：弹性力学的弱形式与加权
残值法
1 弹性力学数值方法：混合元法：弹性力学的弱形式与加权
残值法
1.1 绪论
1.1.1 弹性力学数值方法简介
弹性力学数值方法是解决弹性力学问题的一种重要工具，它通过将连续的
物理问题离散化，转化为一系列的代数方程，从而在计算机上进行求解。这些
方法包括有限元法(FEM)、边界元法(BEM)、混合元法(MEM)等，其中混合元法
因其能够同时处理位移和应力的未知量而受到广泛关注。
1.1.2 混合元法的历史与发展
混合元法起源于 20 世纪 60 年代，最初是为了克服标准有限元法在处理某
些特定问题时的不足，如在计算应力时的不准确性。随着计算机技术的发展，
混合元法的理论和应用得到了极大的丰富和扩展，成为解决复杂弹性力学问题
的有效手段。
1.1.3 弱形式与加权残值法的基本概念
弱形式是将弹性力学的微分方程转化为积分方程的一种数学技巧，它通过
引入加权函数和进行积分运算，可以降低对解的光滑性要求，使得数值方法的
实现更加灵活。加权残值法则是求解弱形式方程的一种通用方法，它通过选择
适当的加权函数，使得方程在某种意义上的“平均”误差最小。
1.2 弹性力学的弱形式
在弹性力学中，考虑一个典型的平衡方程：
∇
⋅
σ
+
b
=
0
其中，
σ
是应力张量，
b
是体力向量。弱形式的构建通常涉及以下步骤：
1. 引入加权函数：选择一个加权函数
w
，它是一个与位移
u
同维的向
量函数。
2. 积分运算：将平衡方程乘以加权函数，并在问题域
Ω
上进行积分。
3. 应用格林公式：利用格林公式将部分二阶导数项转化为边界上的
积分项。
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