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弹性力学数值方法：混合元法在三维弹性问题中的应用教
程
1 弹性力学与数值方法简介
弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科，其在工程、物
理、材料科学等领域有着广泛的应用。数值方法，尤其是有限元法(FEM)，为解
决复杂弹性力学问题提供了强大的工具。在三维弹性力学问题中，物体的几何
形状、材料性质和受力情况更为复杂，传统的有限元法可能无法高效准确地求
解。
1.1 弹性力学基本方程
在三维弹性力学中，我们通常需要解决的是平衡方程、几何方程和本构方
程。平衡方程描述了物体内部应力的平衡条件，几何方程将位移与应变联系起
来，而本构方程则定义了应力与应变之间的关系。
1.1.1 平衡方程
∇
⋅
σ
+
f
=
0
其中，
σ
是应力张量，
f
是体积力。
1.1.2 几何方程
ϵ
=
1
2
(
∇
u
+
(
∇
u
)
T
)
这里，
ϵ
是应变张量，
u
是位移向量。
1.1.3 本构方程
对于线性弹性材料，本构方程可以表示为：
σ
=
C
:
ϵ
其中，
C
是弹性模量张量。
2 混合元法的历史与发展
混合元法是一种在有限元分析中同时考虑位移和应力（或应变）作为基本
未知量的方法。这种方法最早由 Bazeley 等人在 1966 年提出，随后经过了数十
年的发展和完善，特别是在解决三维弹性力学问题中，混合元法因其能够更直
接地处理应力和应变的特性而受到重视。
混合元法的关键在于选择合适的位移和应力（或应变）的插值函数，以确
保数值解的稳定性和收敛性。在三维问题中，这种选择变得更加复杂，因为需
要考虑更多的自由度和更复杂的应力应变关系。
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