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弹性力学数值方法：有限元法(FEM)：数值积分与插值函数

1 弹性力学数值方法：有限元法 (FEM)：绪论

1.1 有限元法的基本概念

有限元法（Finite Element Method, FEM）是一种广泛应用于工程分析和科

学计算的数值方法，主要用于求解偏微分方程。在弹性力学中，FEM 被用来分

析结构的应力、应变和位移，通过将连续的结构离散成有限数量的单元，每个

单元用简单的函数（插值函数）来近似表示，从而将复杂的连续问题转化为一

系列较简单的离散问题。

1.1.1 插值函数

插值函数是有限元分析中的关键概念，用于在单元内部和单元之间近似连

续的物理量。例如，在一维杆件中，我们可能使用线性插值函数来表示位移，

即：

u

(

x

)

=

a

0

+

a

1

x

其中，

u

(

x

)

是位移，

x

是位置坐标，

a

0

和

a

1

是待定系数，可以通过边界条件

和连续性条件来确定。

1.1.2 数值积分

在有限元法中，求解结构的响应通常涉及到对单元的贡献进行积分。由于

单元的形状和边界条件的复杂性，直接积分往往难以实现，因此需要使用数值

积分方法，如高斯积分。高斯积分是一种高效的数值积分技术，它通过在单元

内部选取几个积分点（高斯点）来近似计算积分值。

例如，对于一个一维单元，其贡献可以表示为：

x

2

x

1

f

(

x

)

d

x

≈

n

i

=

1

w

i

f

(

x

i

)

其中，

f

(

x

)

是被积函数，

x

i

是高斯点的位置，

w

i

是对应的权重。

1.2 弹性力学中的数值方法简介

弹性力学研究的是物体在外力作用下的变形和应力分布。在实际工程中，

结构的形状和载荷条件往往非常复杂，解析解难以获得。数值方法，尤其是有

限元法，为解决这类问题提供了强大的工具。

1.2.1 有限元法在弹性力学中的应用

在弹性力学中，有限元法可以用来求解各种类型的结构，包括梁、板、壳

和三维实体。通过将结构离散成多个单元，每个单元的物理行为可以用简单的

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