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弹性力学数值方法：混合元法：弹性力学问题的有限元分
析
1 弹性力学与数值方法简介
弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科，其核心是解决
弹性体的平衡问题。在实际工程中，弹性力学问题往往具有复杂的几何形状和
边界条件，解析解难以获得，这时就需要借助数值方法来求解。有限元法
（Finite Element Method, FEM）是其中最常用的一种数值方法，它将连续的弹
性体离散为有限个单元，通过在每个单元上建立近似解，然后将这些解组合起
来，得到整个弹性体的解。
1.1 混合元法的历史与发展
混合元法是有限元法的一个分支，它在求解弹性力学问题时，不仅考虑位
移，还同时考虑应力或应变作为未知量。这种方法最早由 Bubnov 和 Galerkin
在 20 世纪初提出，但直到 1960 年代，随着计算机技术的发展，混合元法才开
始在工程计算中得到广泛应用。混合元法的发展经历了几个关键阶段：
� 早期阶段：1960 年代至 1970 年代，混合元法主要用于解决线性
弹性问题，如平板、壳体和三维实体的分析。
� 中期阶段：1980 年代至 1990 年代，随着非线性问题的增加，混
合元法开始应用于非线性弹性力学，包括大变形、接触问题等。
� 现代阶段：21 世纪以来，混合元法结合了先进的数值技术和计算
机科学，如并行计算、自适应网格划分等，使其在解决复杂工程问题时
更加高效和准确。
混合元法的一个重要优势是它能够更直接地控制应力或应变的连续性，这
对于解决某些特定问题，如应力集中、接触问题等，非常有帮助。然而，混合
元法的实现也比传统的位移元法更为复杂，需要满足一定的稳定性条件，如
Babuska-Brezzi 条件。
2 弹性力学问题的有限元分析
在有限元分析中，弹性力学问题的求解通常遵循以下步骤：
1. 问题离散化：将连续的弹性体划分为有限个单元，每个单元用节
点表示。
2. 单元分析：在每个单元上建立位移和应力的近似表达式，通常使
用多项式函数。
3. 整体分析：将所有单元的方程组合成一个整体的方程组，通过边
界条件和载荷条件求解未知量。
4. 后处理：分析求解结果，如应力、应变、位移等，并进行可视化。
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