研究论文-时变AR模型阶数确定与系数估计的方法.pdf

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研究了用时变自回归(TVAR)模型对非平稳信号建模的方法.对该模型进行详细分析,探讨了参数模型辨识存在的2大问题:模型阶数的确定和基函数的选择.基于现定阶准则只适用于短时平稳信号的分析,所以利用具有时变特性的信息理论准则(information theoretic criteria,ITC)来确定模型的阶数.通过引入基函数,利用最小二乘算法对模型系数进行估计,从而将非平稳信号的时变模型转化为线性时不变模型,并比较了几种基函数的拟合性能.证明了由于墨西哥草帽小波基函数具有良好的时频特性并且在使用时无需预知信号的先验信息,从而优于其他传统的基函数.
应用科技 第37卷 1.2时变系数的估计 号,对于突发信号拟合的效果较差为了缓解上述问 TVAR模型的阶数确定之后,就可以估计其时题,这单选取小波基作为基函数,小波分析属于调 变系数模型时变系数的估计方法主要有2种:自适和分析,具有多分辨分析的特点,它通过平移的可 应方法和基数方法自适应方法的动态模型为 变窗口巧妙地利用了非均匀分布上的分辨率观察 a(n)=a(n-1)+△a(n) 非平稳信号,在信号的高频处用窄窗,在低频处用 该方法只适用于信号缓慢变化的情况,当信号宽窗;因此有效地提取了信号的波形特征,从而获 变化较快时,该方法不能对系数进行准确的实时追得了信号的先验信息,所以小波分析能较好地反应 踪,另外该方法对噪声也很敏感所以这里采取基信号的时频特征和系统的细节信息,所以具有广泛 函数法来确定时峦系数,即把时变系数看成是带的应用性由于墨西哥草帽小波具有良好的时间和 有权重的多维基函数的线性组合: 作为基函数实验证明,它对信号的适应能力较强, ∑ aif, (n (8)二阶墨西哥草帽小波基为 式中:(n)为基时间函数,为基函数的权值,m为 y(t)=(1/V2m(1+t)xexp(-t/2 11 模型的维数这样对a(n)的估计就转换为对常参数 令L为分解层数: a4的估计问题将式(8代入式(2)小,可得预测信号 (t)=(1V2丌x2(2t-k). (12) 的表达式为 L∈2,k∈Z 随着分解层数l的增大,小波基函数张成的空 )=∑(∑a水)(ni 间代表缓变的信号,即低频信号,相反当逐渐减小 估计误差为 时,代表的是细微变化的信号,即高频信号. 令最大分解层数等于基函数的最大维数,有 e(n =x(n)+ ∑(∑(n)x(n-).(9)中()2(40(2(“),10,1,…,m,k=0,,2-1 =0 令:A-a0,a41,…,m1…n0,1,…,1n (13) x6(n)x(n-1),f(n(n-1),…,fm(n)(n1) 当l=0,1,…,时,()的伸缩就可以拟合快变和 慢变的系数,从而就覆盖了从低频到高频的整个频 n x(n-p 带.由于这种基函数的使用无需已知信号的先验信 利用最小二乘估计方法估计时变系数矩阵A,估计息,因而具有良好的适应性 的参数A应使估计误差的平方值最小,即 基函数的维数对时变参数的估计也有很大的 8=(12N-)2(n)=12(W2)∑(n)x4:影响数太小则拟合的精度较低维数太大,不但 会增加计算的复杂度,还有可能出现过拟合现象, 令上式结果为0并对共求偏导,求得参数A为 从而影响参数模型及其时频分布,所以只有选取适 A=[∑x(n∑x,x (10)合的某函数的维数才能得到最好的效果文中通过 使信号系统误差最小的方法来确定基函数维数,估 估计出A后,根据式(8)即可求出参数a2(n)在各个计误差公式为 时刻的值,从而可以得到TVAR的三维立体时频谱 图,定义谱函数为 MSEx=(1)∑k(n)-a(n).(14) S(,t)=21a(t)e, 2仿真分析 式中!f为频率 由以上推导可知,基函数选取的好坏很大程度 实验1采用上述基函数的方法估计非平稳信 上影响模型参数的逼近性能,目前常应用于TAR号的时变系数,这里分别利用墨西哥草帽小波基函 模型的基函数有:勒让德基函数、沃尔什基函数、数傅里叶基函数和DCT基函数对一个线性调频分 DCT基函数和傅里叶基函数等;但上述基函数在使量与一个正弦分量的叠加信号进行TVAR建模,通 用时都需要预先知道信号的先验信息,如傅里叶基过比较误差,分析3种基函数拟合的性能 函数和DCT基函数都只适用丁周期变化的缓慢信 第11期 高伟伟,等:时变AR模型阶数确定与系数估计的方法 33 r=sin(2r(500-10004))+in(2m(300) 0l768 采样点数M=500.样频率f=2000Hz 01768 0l768 傅里叶基函数为 01002003004005000100200300490500 (a)第0维基凶数 第1维基凶数 coS 2N,i=2k; SIn 2N i=2h+1 0034102304001860020324500 32 )第2维基函数 (d)第3维基函数 1045 30 2.6 1002003004005000100200300400500 (e)第4维基函数 (f)第5维基函数 采样点数 采样点数 图3TVAR模型的基函数(m=5) 图2是用DCT基、傅里叶基和墨西哥草帽小基 函数估计信号的误差由该图可见,DCT基的拟合误 差最大,墨西哥草帽小波基的拟合误差最小用墨西 910111131415 哥草帽小波基作为基函数对信号进行TYAR建模, 模型阶数 图1mTC定阶 图3是西哥草帽基函数,图4是模型的估计系数 005 图5为原信号与TAR信号的比较图由此可见,墨 西哥草帽小波基对非平稳信号具有良灯的适应能力 逆速醒W4凸”, 050100150200250300350400450500 实验2取一段真实的语音信号,采样频率为 (a)墨西哥草帽小波基函数拟合误差 f=22050Hz,模型参数p=9,m=5,用TⅤAR模型进 行拟合,由图6可见,TVAR具有很好的拟合性,适 用于实际非平稳信号的分析和处理 050100150200250300350400450500 (b)傅里叶基函数拟合误差 也 0.10 0.50 0100200300400500 0100200300400500 采样点数 采样点数 050100150200250300350400450500 (b)a2 ()DCT基函数拟合误差 图23种基时数找合信号的误差(p=11,m=5) 341610020302081020320500 DCT基函数为 采样点数 采样点数 t)=a(t)co((2k+1)/2N) (d)a4 赳61 a(t)=v1/,t=0 四61 a()=V2N,=1,2,…,N. 0100200300400500 100200300400500 采样点数 采样点数 由图1可知根据IC定阶准则,p在范围6,15] 变化时,当p=11时,则满足rT℃准则的表达式最小, 型27 所以模型的阶数为11至于基数维数的确定,如表 多X8100203475302110203040500 27 1所示,m在范围[1,7变化时,随着维数的不断增大 采样点数 采样点数 MSEx逐渐减小;但减小的幅度越来越小,所以为了 既能使估计误差很小,又能减少运算的复杂度,约 355 l00200300400500 010020X300400500 存储空间,选择基函数的维数为m=5 采样点数 采样点数 (j)ajo 表1信号随的变化 45 100200300400500 MSE%2820269026602.648264626452643 采样点数 图4TVAR模型时变系数 应用科技 第37卷 参考文献 1 shARMAN K, FRIEDLANDER B. Time-varying auto regressive modeling of a class of nonstationary signals [cyr t50100150202503003504045050 Acoustics, Speech, and Sigmal Processing, IEEE Intemational 采样点数 a)原信号 Conference on ICASSP"84. Scotland: University of Strathclyde 1984. 2ABRAMOVICH Y I, SPENCER, M DE NI K. TURLEY. Order estima tion and discrimination between stationary and time-varying (TVAR )autoregressive models J] IEEF Transactions on Signal Pmcessing, 2007, 55(6): 2861-2876 采样点数 b)墨西哥草帽小波基的TvAR信号 3]KOZIN F, NAKAJIMA E. The order determination problem for 图5原信号与TvAR信号(p=11,m=5) linear time-varying AR models [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1980, AC-25(2 ) 250-257 05 4ABRAMOVICH Y, SPENCER N, TURLEY M. Time-varying autoregressive(tVaR)models for multiple radar observations -05 [J ].IEEE Trans, Signal Process, 2007, 55(4): 273-285 02040.608101214161.8201 5DYMH, GOHBERG I. A new class of contractive interpolants (a)真实语音信号 maximum entropy principles []. Or Interpolation, 1988: 117-150 05 [6DJURIC P. A model selection rule for sinusoids in white Gaussian noise [J. IEEE Trans Signal Process, 1994, 42(7) 1744-1757 02040.6081.01.2141.61820 [7]SODSRI C. Time-varying autoregressive modeling for (aVAR信号 nonstationaryacoustic signal andits frequency] Philadelphia 图6语音信号的TVAR建模 the Pennsylvania State University, 2003 [8ABRAMOVICH Y I, SPENCER N K, et al. Time-va 3结束语 autoregressive(TVAR )models for multiple radar observations [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007, 55(4) 研究了非平稳随机信号的时变自回归模型的 1298-1311 建模方法,通过引入基函数将非平稳时变问题转换浏聪孙秀霞,李海军带遗忘因子的限定记忆辨识算法 为平稳的线性问题进行分析.在此基础上对模型阶 电光与控制,2006,13(1):4850 数和基函数自由度的确定进行∫分析.墨西哥草帽0osHc.Tme. varying autoregressive modeling for 小波基函数的应用大大提高了模型拟合的准确度 nonstationary acoustic signal and its frequency analysis D]. Philadelphia: the Pennsylvania State UI 只有较强的适应性,在实际中只有一定的工程实用 ty,2003 [11GRADSHTEYN IS, RYZHIK IM. Table of integrals, series 价值仿真结果表明,文中方法能够准确佔计非平稳 and products[M]. 7th ed. New York: Academic Press, 2007 信号,确定模型阶数和基函数维数的准则都能使预 测结果的误差相对减小

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