论文研究-一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用.pdf

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论文研究-一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用.pdf,  在加权最小二乘框架下构建了离散灰色预测模型DGMP(1,1,N),论证了最小均方误差准则、最小均方相对误差准则和最小平均绝对百分误差准则下的DGM(1,1)模型、NDGM(1,1)模型和NGM(1,1,ka)模型均是DGMP(1,1,N)模型的特殊形式,给出了模型阶数N取值的判定准则,证明了模型的仿射变换不变性和无偏性.将DGM
第2期 罗党,等:一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用 由η≥N+4知,式(5)为超定方程,不冇在精确解,求解方程的加权最小二乘解A.令残差向量 e=[c(2)c(3) ),有 B 参数κ的估计值为 k=arg min L=E WE=(Y- BKW(Y-BK 依据极值存在条件知 d 2BWBK-2BWY=0 (8) 即估计参数R满足正则方程 BwB=BWY 由矩阵B列满秩,权重矩阵W正定知矩阵BWB是非奇异矩阵,其逆矩阵为(BWB),求解得 式(3) 定理2给定初值条件((1)=(1(1),DGMP(1,1,N)模型的递推公式为 (1)(k)=a(1)(k-1)+A0+B2k+……+BykN O)(k)=1(1(k)-(1(k-1),k 7+p 其中:p∈N+为预测步长 证明将估计参数代入式(2)得序列拟合预测值 (1)(k)=d(1(k-1)+A+Ak+…+AxkN,k=2,3,…,n+p 在初值条件a(1(1)=((1)下,结合一阶累减还原算子(1AGO)式(12)可证得式(10)成立 (0 k=1 (0(k) (k-1),k=2,3,…,m+p 推论1依据权重矩阵W的取值,有如下结论 1)当W=I时,DGMP(1,1,N)模型为最小均方误差准则下的离散灰色预测模型; 2)当W-diag 1(2)2’a(1)(3)2 ,nx)时, DGMP(1,1,N)模型为最小均方相对误差准则下的离 散灰色预测模型 ⊥/x(1)(3) 3)当W=deg(m(2)-x0(2,D)-(7 ((m)=")时,DGNP,1,N)模型为最小平均 绝对百分误差准则下的离散灰色预测模型 证明将权重矩阵W分别代入式(7)知 k=arg min ∑( (1(12)-x(1)(k)=gm、1n 2 ∑ (1) k) 此时加权最小二乘法退化为经典的最小二乘法 1)(k x(1)(k arg min ∑ arg mm ∑ ()-2(k)2 x(1(k) 此时加权最小二乘法表述了均方相对误差最小化准则 ∑ r()(k)-()(k) 1(k)-分1)(k) argmin arg min (1)(k) (k) 此时目标函数不可导,可以运用遗传算法、粒子群等智能优化算法求解 推论1表明加权最小二乘法统一表述了灰色预测建模常用的最小均方误差准则、最小均方相对误差准 则和最小平均绝对百分误差准则 推论2依据参数κ(或N)的取值有如下结论 1)当尻1-B2-…-BN-0(或N_0)时,DGMP(1,1,N)模型退化为DGM(1,1)模型2,模型方 程为 x(1)(k)=ax((k-1)+Ao 454 系统工程理论与实践 第39卷 参数K=[a0]的加权最小二乘估计为 (BiwB1 BwY 其中 2)当2-B3 βN-0(或N-1)时,DGMP(1,1,N)模型退化为NDGM(1,1)模型26,模型 方程为 x(1)(k)=ax)(k-1)++1k (14) 参数k=[aAoA1]的加权最小二乘估计为 A=[a Bo B1]=(B)WB2)B2WY 其中 (1 B 1 1 =B 已已 3)当1=2=…=BN-1=0时,DGMP(1,1,N)模型退化为NGM(1,1,k)模型27,模型方程为 (k) (k-1)+o+3Nk (15) 参数κ=[a6oN]的加权最小二乘估计为 兵=aAn]=(B3wB)BwY 其中 1(1)x(1)(2) 1 Ble ey eN+ 2 证明将参数取值分别代入式(2),类似定理2,可证得结论显然成立 推论2表明不仅已有的基于最小二乘法的DCM(1,1)模型、ND(M(1,1)模型和NGM(1,1,k③)模型均 是DGMP(1,1,N)模型的特殊形式,而且结合推论1可分别构建最小均方相对误差准则和最小平均绝对百 分误差准则下旳DGM(1,1)模型、NDGM(1,1)模型和NGM(1,1,k°)模型.此外,乜可以通过控制参数N 的取值构建具有不同形式的灰色预测新模型 3模型阶数N的取值与预测算法 如何识别模型阶数N的取值关系着模型的应用和推广,以原始序列X)对应的级比序列为工具,给出 模型阶数N取值的判定准贝 定义3设V"X={V"x0(r+1),V"x0(r+2),…,V"z(m)}为原始序列X0的r阶差分序列, 称60)={60(r+2),0)(r+3),…,60(mn)}为X的r阶差分级比序列其中 6()(k) VTz()(k) k=r+2,m+3 推论3依据差分阶数r的取值有如下结论: 1)当r=0时,差分序列Vxo=X0,60)={60(2),60(3)…,6(n)}为齐次级比序列2,其中 6(0)(k) 0(k) k=2,3 0)(k-1) (17) 2)当r=1时,差分序列vX)={x0(2)-x0)(1),x ((2,…,x0(n)-x(0)(-1)},6(1) {6(1)(3),8(1(4),…,6(1)(n)}为非齐次级比序列2,其中 (1)(k 则人-x(0/k-1)-,k=34,…, 0)(k-1)-x(0)(k (18) 第2期 罗党,等:一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用 455 定义4设阶差分级比序列如定义3所示, ∑(()-8 (19) k=r+2 其中:0 k=+26(k).若)=0,则称原始序列具有r阶严格指数规律;若c≠0,则称原 始序列具有r阶准指数规律. 定理3若原始序列具有γ阶严格指数规律,则原始序列定具有r+1阶严格指数规律. 证明由原始序列具有r阶严格指数规律知)=yn1=∑k=+2(6()-0)2=0,故 8(4)=n-7-1∑60()=0(-1)=m,k==2,x+3,…,n 山定义3知原始序列的r+1阶级比序列8(+1)={6(+1)(x+3),6(+1(r+4),…,6(+1(n)},其中 VI+lr(o)(k VIx(o)(k ()=201-1)=m0(k-1)-0(k=-2)二0(k=1)=m,(2) 将式(21)代入式(19)知 (r+1) ∑(60+1) 0. (22) k=r+3 其中+1)=1∑n+36(+(k)=m1+=+2(n)()=() 定理4原始序列ⅹ)具有r阶严格指数规律()=0)的充分必要条件为 (k) k=r+1,r+2 其中=Vx0)(+1,c=o(n=1 证明充分性:将式(23)代入式(16)知 Vro)(k ⊥ ac (O)(k k=r+2,r+3, 代入式(19)得e()=0 必要性:由e()=0易知差分序列{VrO)(x+1),V"r(r+2,…,Vr0()是以Vx0(x+1)为 初项,m0(m为级比的等比级数 由以上分析可知,c)在一定程度上度量了原始序列具有r阶严格指数规律的程度,考虑到高阶多项式 的波动性特征和节俭原则(模型越复杂,出现过拟合的几率越高)29,模型阶数N的取值为 N=min arg min e(r)= min arg min ∑( 6()(k ,R={0,1,2,3}(25) ∈R T∈R 预测算法 step1计算原始序列的r阶差分级比序列和e(; Stcp2依据差分级比序列图和式(25)确定模型阶数N; Sep3将N值代入式(3)求解模型参数,并依据式(10)计算原始序列的拟合值; Step4依据误差检验结果判断模型精度等级,并对原始序列进行预测,分析系统的发展趋势. 4模型的仿射变换性质 41理论分析 由于最小平均绝对百分误差准则下优化目标函数不可导,下文仅讨论最小均方误差准则和最小均方相对 误差准则下,累加序列X(1)的仿射变换对模型的影响 定义52称序列Y()={()(1),y((2,…,y(m)}为序列x1)的仿射变换序列,其中 k)+5,P≠0,k=1,2 定理5仿射变换序列Y(对应DGMP(1,1,N)模型的估计参数R=[aB…A」满足 am…]=[a(1-a)+php3 (27) 456 系统工程理论与实践 第39卷 证明设Y=[mx(1)(2)+m()(3)+5 )(n)+5]=pY+E 12 P O 0 10 (2)13…3 01 0 B,= BP pQ, (1) 00 其中 01 0 B Q 0 (N+2)×(N+2) 10 0 0 10p 51 0 00 由定理2知序列y()对应DGMP(1,1,N)模型的估计参数 Ay(ByWBu BywYy-(QTPTBTWBPQ)QPTBTW(pr +sE Q-1P-(P(BWB)BTWY+5(BWB)BTWE (28) 由(BWB)B1WB=I向量E是矩阵B的第2列知 (BWB BWE=e2 (29) 将式(3)和式(29)代入式(28)得 Ry=pQ-P-k+5Q-P-le2 (30 定理6设()(k)为序列X()的拟合预测值,y((k)为仿射变换序列Y()的拟合预测值,则 y(1(k)=p(1)(k)+5,k=1,2,…,n+p 证明由定理2可知在初值条件(1)=y(1)=p()(1)+5=p()(1)+5下,仿射变换序列Y()对应 DGMP(1.1,N)模型的递推公式为 0(1)(k)=ay(1)(k-1)++k+…+Bk4 (32) (k-1),k=2.3 p 将式(27代入式(32)知 0)=(0(k-1)-9)+p3十m+…+N+ 运用数学归纳法让明y1)(k)=p((k)+5如下 10由初值条件知,k=1时显然有(1)=P21)(1)+5成立 2°假设 y(1)(k-1)=p()(k-1)+ 34) 将式(34)代入式(33)得 ()=(a0(k-1)++Bk+…+k)+5=m(()+ (35) 结合累减还原式(12)显然可知序列X①)对应模型值0(k)与仿射变换序列Y(1)对应模型值yO(k) 满足 p20(k)+5,h=1 (k) (36) k-2,3 十p 定理7累加序列X()对应DGMP(1,1,N)模型的绝对百分误差 apea(k) a0(k) 0(k 100 第2期 罗党,等:一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用 457 与仿射变换序列Y()对应DGMP(1,1,N)模型的绝对百分误差 0n16s<(o()=80 ×100% 0)(k) (38) 满足 pe(k)=apen(k),k=1,2,…,7+ 证明将式(36)代入式(38)知 (k) 100%x0)(k)-pi(0)(k)×100%=g(1,h=2,3,…,n+p.(40) (0) 由于对累加序列和仿射变换序列建模时均以第一点的值为初始条件求解递推公式,故 apex(ki)=ape,(k)=0, h 推论4设原始序列O的数乘变换序列Y0={y0(1),y((2),…,y0(n),y(k)=mx0(k),则 原始序列的拟合预测值0)(k)与数乘变换序列Y()的拟合预测值y0(k)满足 1(0)(k k (k),k n+ p 椎论4表明原始序列的数乘变换不改变模型的精度.在实际应用中可对原始序列X()施用数乘变换以 避免参数估计过程中可能出现的病态性间题12 4.2算例分析 例1设原始序列x0)={x0(k)}={21⊥,26.6,36,52.3,80.L,1268}24,则一阶累加生成序列 X(1)={c()(k)1={211,47.7,83.8,136,1,216.2.,343.0} 令p=0.1,5=2得序列X(的仿射变换 Y()={y(1(k)}={411.6:7,10.38,1561,2362,36.30} 在最小均方误差准则下,分别对X(①)和Y①建立DGMP(1,1,0)模型和DGMP(1,1,1)模型,如表1 所示 表1原始序列和仿射变换序列的建模结果 时点kx0(k)y0(k) DGMP(1,1,0)模型 DGMP(1,1,1)模型 ()(k)apex(k)y0(k)aen(k)a0(k)upea(k)y(0)(k)apen(k) 4.11 21.10 0.00 4.11 0.00 21.10 0.00 1.11 0.00 26.6 2.66 22.90 1393 2.29 139326.540 36.1 3.61 34 3.64 3.6436.120.063.610 52.35.2352.85 1.06 5.2 1.06 52.38 0.15 5.24 0.15 5 80.1 80180.30 0.25 8.03 0.25 79.97 0.16 800 0.16 6 1268 12.68122.00 3.78 12.20 3.78 126.79 0.0l 12.68 0.0L 1.5193 1.5193 1.6970 1.6970 估计参数 11.9380 0.1551 29.6750 1.5734 8.9207 0.8921 从表1可以看出,当N=0和1时,k1与A满足式(27),0(k)与30(k)满足式(36)、qpen(k)与 αpe(k)满足式(39),验证了定理5~7.此外,由于原始序列具有近似非齐次指数规律,故DGMP(1,1,1)模 型的拟合精度高于DGMP(1,1.0)模型的拟合精度 5模型的无偏性 51理论分析 定义60设原始序列ⅹ具有N阶严格指数规律,0)(k)为其对应模型拟合值,若0(k)=x((k), 则称该模型满足无偏性;反之,则称该模型是有偏的. 定理8灰色DGMP(1,1,N)模型满足无偏性 458 系统工程理论与实践 第39卷 证明1)当N=0时,由推论2知DGMP(1,1,N)模型退化为DGM(1,1)模型,该模型对齐次指数规 律序列X0)={acac2,…ac3,c>0且c≠1,具有无偏拟合性,其参数R=[a=cac,证明 参见文献[25 2)当1<N≤3时,设原始序列为 X ac+ ∑b,c2+∑b2,…,c2+∑bn (42) 则由定义1知X0)的一阶累加序列为 x)={m+∑b,ac+2)+∑b(1+2),…a∑c+∑ (外 令N=3,依据定理1求解得参数 C cla+ bo k=B1 (bo+2)(1-c)+(1+c) (44) 2 t(1-c)+(1+c) 3 (1-c 运用数学归纳法证明x0(k)=x0(k)如下: 1°由DGMP(1,1,N)模型的初值条件知,k=1时有 (1)=ac+∑b 20假设式(46)成立 则由定理2知 (k+1)=a((k)++A2(k+1)+1(k+1)2+A3(k+1)3. 将式(4)和(46)代入式(47)得 (k+1) +∑b∑ (k+1) 结合一阶系减还原算子式(12)知 (k)=31(1(k)-2(1)(k-1) )-r((k-1)=xO(k) 49 类似地,可证明参数N或参数向量=[cor Bx]取其它值时,DGMP(1,1,N)模型对 N阶严格指数规律序列的无煸拟合性. 定理8表明冂GMP(1,1,N)模型不包含GMP(1,1,N)模型所固有的连续形式和离散形式间的转换偏 差,其应用范围较GMP(1,1,N)模型广泛 52算例分析 例2对系统1:x(+)=1.2×(1.5)、系统2:0)(t)=1.2×(1.5)4+4、系统3:x(+)=1.2×(1.5)4-2+4 和系统4:x0)(t)-1.2×(1.5)-0.62+t+4,在区间[1,10上取采样间隔为1个单位,得4系统的采样数 据序列以前8个数据为建模数据,第9和10个数据为验证数据,对4系统分别建立DGMP(1,1,N)模型 计算4系统的等差级比序列发现,系统序列1为0阶严格指数规律序列,系统序列2是1阶严格指数 规律序列,系统序列3是2阶严格指数规律序列,系统序列4是3阶严格指数规律序列,故依据式(25)对4 系统分别建立DGMP(1,1、0)模型,DGMP(1,1,1)模型,DGMP(1,1,2)模型和DGMP(1,1,3)模型,最小均 方误差准则、最小均方相对误差准则和最小平均绝对百分误差下的建模结果相同,如表2和图1所示 第2期 罗党,等:一类离散灰色预测模型的统一处理方法及应用 459 系统11分概表24系统 DGMP(1, 1, N模型的参数估计值 阶数N 估计参数 系统 bo 61 b2 T=0 T=1 T=2 7=3 ao1233 0.000.000.000.00 0 1.51.8 系统21.21.540 0.060.000000.00 11.578-2.0 系统31.21.54.0-2.0 0.3810.900.000.0021.57.84.50.5 系统41.21.54.01.0-0.60.3412.621.290.00 31.57.8-0.7-1.00.1 System 1 System 2 100 100 80 80 60 Filling← Filling∈- 40 40 → Forecasting 20 8 System 3 System 4 40 Fitting 40 fOrecasting 10 Forecasting 6 图14系统的拟合预测结果 6应用实例 能源需求预测是制定能源发展战略的前提和基础,其预测结果的好坏直接影响囯家的经济发展和社会稳 中国作为世界上人口最多的国家、同时也是能源消费大国,其能源需求不仅直接影响着自身的能源安 全,在全球能源市场上同样有着举足轻重的地位.以2000-2010年中国人均能源生活消费量为建模数据建 立DGMP(1,1,N)模型,以20112014年人均能源生活消费量为验证数据验证所建立模型的泛化能力,并 预测2015-2016年中国人均能源生活消费量 依据预测算法计算原始序列的0、1、2和3阶等差级比序列及其对应的e(),如图2所示.由0)< (1)<10<c(3)<e(2)初步确定N的取值为0和1,对比分析0阶和1阶级比序列的波动情况知,两者震荡 程度均较大,故最终确定N的备选值为0和1.在最小均方误差准则下,对原始序列分别建立DGMP(1,1,0) 模型和DGMP(1,1,1)模型,此外,建立GMP(1,1,2)模型进行对比分析,结果如表3所示 由表3可知,在建模数据集上,DGMP(1,1,1)模型的平均绝对百分误差较 DGMP(1,1,0)模型的469% 和DGMP(1,1,2)模型的308%均小,且其最大绝对百分误差仪为5.74%,小于两模型的13.70%和811%, 貝有较高的拟合精度.在验让数据集上,DGMP(1,1,1)模型的平均绝对百分误差和均方根绝对百分误差分别 为2.17%和2.45%,均小于DGMP(1,1,0)模型的21.33%和21.89%,DGMP(1,1,2)模型的5.78%和5.84 此外,分析2011-2014年人均能源生活消费量的预测值与实际值之间的相对误差发现,DGMP(1,1,1)模型 对每年消费量的预测精度均达到95%以上,高于DGMP(1,1,0)模型和DGMP(1,1,1)模型,泛化能力强 为此选择DGMP(1,1,1)模型预测20152016年中国人均能源生活消费量,如表3所示 1.数据来源:中华人民共和国国家统计局:网址:htp:;/ data,tats.gov.cn/ easyquery. htm;访问时间:2017-04-16 460 系统工程理论与实践 第39卷 0.05 1)=0.80 3 1.05 k 5.7 3.36 0 -10 图2原始序列的级比序列 表320002016年中国人均能源生活消费量拟合预测值(单位:千克标准煤) 年份实际值 DGMP(1,1,0)模型 DGMP(1,1,1)模型 DGMP(1,1,2)模型 抄合预测值 相对误差(%)拟合预测值相对误差%)拟合预测值相对误差(%) 2000132.0 132.00 132.00 0.00 132.00 0.00 2001136.0 136.93 0.68 1.47 134.23 1.30 2002146.0 2.71 151.96 4.08 151.42 3.71 2003166.0 164.24 1.06 169.72 2.24 16896 2004191.0 17987 187.28 186.73 2.24 2005211.0 197.00 204.65 3.01 204.65 3.0l 2006230.0 215.75 6.20 221.83 222.66 3.19 20072 2:36.29 238.82 4.47 240.74 3.71 2008254.0 258.78 255.62 0.64 25885 1.91 2009 283.42 735 2722;3 3.12 276.99 4.g2 2010273.0 310.40 13.70 288.66 5.74 295.14 8.11 平均绝对百分误差(%)(20002010 4.69 2.75 2011294.0 339.94 15.63 304.91 3.71 313.30 2012313.0 372.31 18.95 320.98 2.55 31.47 5.90 2013335.0 407.75 21.72 336.87 349.65 4.37 2014346.1 446.56 29.0 352.59 367.83 6.28 平均绝对百分误差(%)(20112014) 21.3 2.17 5.78 均方根绝对百分误差(%)(2011-2014 21.89 2.45 584 2015 368.13 2016 383.51 7结论 在加权最小二乘框架下构建了DGMP(1,1,N)模型,给岀了一种离散灰色预测模型的统一处理方法,并 对DGMP(1,1,N)模型的建模机理和性质深入研究,发现: 已有的基于最小二乘法的DGiM(1,1)模型、NDGM(1,1)模型和NGM(1,1,k)模型均是DGMP(1,1,N) 模型的特殊形式,模型的结构特征由参数N或参数向量κ=[αβoβ1…·③N]的取值休现; 2)加权最小二乘法统筹了灰色建模常用的最小均方误差准则、最小均方相对误差准则和最小平均相对 误差准则.而且可以选择适当的优化准则和参数N或参数向量κ的取值,构建灰色预测新模型

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