关于局部Noether模 (2000年)

本文主要探讨了局部诺特模（Locally Noetherian Modules）的性质及其特征，并通过特定的模理论来刻画局部诺特模。局部诺特模是指所有有限生成的子模均为诺特模的左模。文章中首次证明了局部诺特模等价于其内部所有M-内射左模的直和为有限余生成模和具有拟连续性质（或连续、直内射等）的左模的直和。 文章的中心结论是：左R模M是局部诺特模，当且仅当对于σ[M]中的任意M-内射左R模的直和，该直和可以分解为一个有限余生成的左R模和一个具有拟连续（连续性或直接内射性等）性质的左R模的直和。这意味着，对于任意的M-内射左R模的直和分解，我们可以找到具有特定性质的直和成分来刻画局部诺特模的结构。 为了更深入地理解这一结论，我们需要先了解几个关键概念：诺特环（Noetherian ring）、诺特模（Noetherian module）、M-内射模（M-injective module）、有限余生成模（finitely cogenerated module）以及拟连续模（quasi-continuous module）等。 诺特环和诺特模：在抽象代数中，诺特环是一个在理想理论中具有重要地位的概念，即一个环的每个理想都是有限生成的。当一个环的每个理想都是有限生成的时候，这个环被称为诺特环。诺特模是指该模的每个子模都是有限生成的模，而这种性质被称作模的诺特性。 M-内射模：这类模与模的内射包有关，是一个研究模的内射性质的重要概念。M-内射模可以看作模M的内射包的一个推广。如果模M的每个单同态都能够被扩张到模M的内射包中，那么这个模被称为M-内射模。 有限余生成模：这类模是在模的子模中，与有限生成模相对的概念。它指的是一个模可以被它的有限个余生成子模的和所生成。 拟连续模：这是指模的一种特殊性质，它可以被看作是连续模的一种推广。一个模如果具有拟连续性质，那么它将在某些情况下表现出与连续模类似的行为。连续模是指模的一个性质，在模论和范畴论中有重要的应用。 文章通过这些概念定义了局部诺特模，并给出了它们之间的相互关系。文章的工作不仅提供了局部诺特模的一个新的特征化，而且将已有的结果进行了推广。例如，如果每个左R模都是有限余生成模和局部诺特模的直和，那么可以得出环R是左诺特环。此外，该论文还提到，如果每个左R模都是内射模和局部诺特模的直和，那么环R是左诺特环，这与D.V. Huyen和P的结论一致。 该论文通过细致的模理论分析，为局部诺特模的结构研究提供了新的工具和视角，对于理解模结构及环的诺特性有着重要的理论意义。文章的研究结果不仅深化了模理论中的诺特性质的理解，而且在代数学的其他领域也具有广泛的应用价值。通过这样的研究工作，我们可以进一步探索更多代数学结构的深层性质，为数学理论的研究与应用提供基础。