在这篇文章中，作者谢四清主要研究了在特定零点集上的插值问题，具体来说是研究了当n为奇数时，函数\(x_n(x) = (1-x^2)p_{n-1}(x)\)零点上的(0,1,3)插值的正则性以及收敛性。这里的\(p_{n-1}(x)\)指的是n-1次勒让德多项式。文章探讨的(0,1,3)插值是指在给定的节点组上寻找一个次数为\(n-3\)的多项式\(Q(x)\)，使得该多项式及其一阶导数在这些节点上的值满足预先给定的值。对于插值问题的正则性，是指如果对于任意给定的值，上述插值问题都是唯一可解的，则称该插值是正则的；否则被称为奇异的。
文章首先回顾了插值问题的一般形式，即在节点组\(X = \{x_0, x_1, \ldots, x_{n-1}\}\)上，寻找一个多项式使其\(m_i\)阶导数在这些节点上取预设的值。接下来，文章中指出了在特定条件下，即n为奇数且节点是特定的\(x_n(x)\)的零点时，(0,1,3)插值问题的正则性。在此基础上，文章给出了正则性以及收敛性的证明，并提供了基多项式的显式表达式。在最后一节，作者对基多项式进行了估计，并由此推出了插值过程的一致收敛性。
在预备知识部分，文章讨论了n为奇数时的n-1次勒让德多项式\(P_{n-1}(x)\)，它满足\(P_{n-1}(1)=1\)的条件，并定义了函数\(S(x)=\frac{x_n(x)}{x}\)。根据\(S(x)\)的性质，文章给出了相关的引理和估计，这些为解决特定的插值问题提供了理论基础。特别地，对于\(-1 \leq x \leq 1\)区间内的\(x\)，文章给出了函数\(P_{n-1}(x)\)和\(S(x)\)的上界估计，这对于分析插值多项式以及证明其正则性和收敛性至关重要。
文章还提到了之前的研究，包括对(0,2)，(0,1,3)，(0,2,3)，(0,1,2,4)等类型的插值的研究，以及在不同情况下对插值正则性的探讨。特别是当n为偶数时，(0,1,…,r-2,r)型的插值在之前的研究中被发现是正则的，而当n为奇数时则呈现出奇异的特性。而对于(0,1,…,r-3,r)和(0,1,…,r-3,r-1,r)型的插值，无论n是奇数还是偶数，其正则性都与n的奇偶性无关。
作者通过构造特定的多项式\(Q(x)\)并寻找其在给定零点上的值来解决插值问题，并通过理论分析证明了该插值问题的正则性。文章的贡献在于为这类插值问题提供了统一的处理方法，并在数学理论上对其进行了深入研究，为今后的相关研究奠定了基础。
