在微分几何中，研究空间中子流形的性质是一个重要课题。特别地，研究子流形的曲率特性能够帮助我们理解整个空间的结构。本文讨论了常曲率黎曼流形中的一个特定类别的子流形——具有平行平均曲率向量场的完备伪脐子流形。
我们来解释一下文中涉及的几个核心概念。黎曼流形是配备了黎曼度量的空间，这种度量允许我们定义距离、角度、曲率等几何概念。常曲率空间指的是其上每一点的曲率都相同的黎曼流形，最经典的例子是欧几里得空间（曲率为零）和球面空间（正曲率）。
伪脐子流形是黎曼流形的一个子集，它在某种意义上接近于全脐子流形，但不是完全相同。全脐子流形是指每一个点上的法向量都相同，这在几何上意味着子流形的每一点都具有相同的曲率性质。平均曲率向量场是指在每个点上，平均曲率向量是一个常向量场，意味着它在子流形上是不变的。而平行平均曲率向量场则是在局部标准正交标架下，平均曲率向量满足平行性，即其导数为零。
在文中，作者刘建成和魏琳研究了在常曲率空间中，具有平行平均曲率向量场的完备伪脐子流形。完备性是指在子流形上引入的度量是完整的，即在度量下的所有收敛的点列都有极限点在子流形上。
作者得到了这类子流形为全脐子流形的一个充分条件，即如果子流形的第二基本形式模长平方小于某个特定的表达式，那么这个伪脐子流形实际上是一个全脐子流形。这里的第二基本形式模长平方是一个衡量子流形弯曲程度的量。
具体地，作者提出了一个定理，它表明如果在局部标准正交标架场下，第二基本形式模长平方满足一定的条件，即对于某个小于n/(3p-5)乘以(p-1)c加(4p-6)H²的上确界（其中n是子流形的维度，p是余维数，c是空间常曲率，H是平均曲率），那么这个完备伪脐子流形实际上是全脐的。推论部分进一步说明了在欧氏球空间中具有平行平均曲率向量场的完备伪脐子流形也满足类似的条件。
这样的研究对于理解子流形的全局性质有着重要意义，尤其是对于研究在某种全局对称性的背景下，子流形的局部结构如何影响其全局性质。这些结论在整体微分几何和几何分析领域都是非常重要的。
研究这类问题通常需要深厚的数学基础，包括微分几何、黎曼几何、张量分析等相关领域的知识。而且，研究者常常需要运用复杂的数学工具，如联络、曲率张量、基本形式等概念来证明和阐述其结论。
本文的作者刘建成是西北师范大学数学与信息科学学院的副教授，主要研究方向为整体微分几何与几何分析。他的工作得到了国家自然科学基金资助项目的支持，这表明其研究具有一定的学术价值和社会意义。
整体来看，本文的研究是建立在一系列已知的几何理论基础之上的，通过进一步的条件限定和数学推导，为理解特定类型的子流形提供了新的视角和深入的理解。对于数学理论研究以及与之相关的物理学、工程学等领域，本文的研究成果具有潜在的应用价值。
