在数学领域，特别是在微分几何的研究中，球面中的完备子流形是一个经典的研究主题。这篇文章所关注的是具有特殊性质的完备子流形，即那些在球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形Mn。这篇文章利用广义极大值原理，证明了当这个完备子流形Mn的第二基本形模长平方S满足一定的上界条件时，Mn具有全脐的性质。
在详细展开知识点之前，我们首先要了解一些基础概念。
球面（Sphere）可以理解为在三维空间中的一个完美对称的曲面，所有点到中心点的距离相同。在数学上，我们可以表示为一个以原点为中心的n维球面Sn（这里n+1是空间的维数）。
完备子流形（Complete Submanifold）是指在高维空间中的一个流形，它是完备的，即在这个子流形上的任何柯西序列都有极限点在这个子流形上。完备性是度量空间中的一个重要概念，在拓扑学和微分几何中尤其重要。
平行单位平均曲率向量（Parallel Normalized Mean Curvature Vector）是一个用于描述流形弯曲程度和方向的概念。在这个上下文中，它指的是流形上每一个点的单位平均曲率向量都与自身平行，即这些向量的方向在流形上保持不变。
全脐子流形（Totally Umbilical Submanifold）是指在高维空间中的一个子流形，其每个点的第二基本形式可以通过第一基本形式来表达，即所有方向上的曲率都是相同的，可以理解为局部上类似于球面的性质。
广义极大值原理（Generalized Maximum Principle）通常指的是一种证明技术，用来在没有边界的情况下，证明某个函数或算子满足最大值或最小值的性质。
现在，我们可以进一步详细阐述文章中的具体内容和相关的知识点。
文章的出发点是球面Sn中的子流形，并且这个子流形是完备的。研究这样的子流形在数学上很有意义，因为它涉及到几何结构的基本性质。
作者使用了平行单位平均曲率向量这个条件。这个条件相对一般条件是比较弱的，它不要求子流形有恒定的平均曲率。它更多地关注平均曲率向量的方向，而不是它的大小。
接着，文章通过广义极大值原理得到了一个拼挤定理，即在一定的条件下，如果第二基本形模长平方S小于某个上界，那么这个完备子流形就是全脐的。这个定理提供了一种判断子流形性质的方法。
在预备知识部分，作者详细介绍了如何选取和使用局部规范正交标架场以及相应的对偶标架场，并且定义了相关的曲率张量。这些准备工作是进行几何分析和证明的基础。
文章利用了国家自然科学基金的资助，说明了研究的重要性以及在学术界的支持。
这篇文章中的研究成果不仅对于微分几何领域有重要意义，对于理解高维空间中的几何结构也有着深远的影响。通过对球面中具有平行单位平均曲率向量的完备子流形的研究，可以帮助数学家们更好地理解这些流形的内在性质，以及它们在数学物理中的应用。
