### 关于指数Diophantine方程x² + qᵐ = pⁿ的可解性
#### 摘要
本文探讨了一类特殊的指数Diophantine方程x² + qᵐ = pⁿ的解的存在性问题。这里p和q是满足特定条件q² + 1 = 2p²的奇素数。通过初等方法证明了当q ≡ 3(mod 4)时，该方程仅有一个正整数解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。
#### 引言
Diophantine方程是指未知数为整数的多项式方程，这类方程在数论中有着重要的地位。特别是指数Diophantine方程，即未知数的指数也是未知数的形式，更是数论研究中的难点之一。本文关注的方程为x² + qᵐ = pⁿ，其中p和q都是奇素数，并且满足q² + 1 = 2p²这一特殊条件。我们的目标是证明当q ≡ 3(mod 4)时，方程x² + qᵐ = pⁿ仅有一个正整数解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。
#### 相关理论背景
1. **商高数**: 商高数是一类特殊的正整数组(a, b, c)，满足a² + b² = c²。这类数在数论中有广泛的应用，尤其是在研究Diophantine方程时。
2. **Terai猜想**: Terai在1993年提出的一个关于商高数的猜想。原始猜想为：如果(a, b, c)是商高数且2 | a，则方程x² + by = c仅有解(x, y, z) = (a, 2, 2)。该猜想后来被修正和推广。
3. **广义Fermat猜想**: 与经典的Fermat大定理类似，广义Fermat猜想涉及形如xʳ + yˢ = zᵗ的方程，其中r, s, t > 1。这个问题至今仍然是数论中的一个重要而未解决的问题。
#### 研究进展
1. **Terai猜想的发展**: Terai最初的猜想在后续的研究中被发现不完全正确。例如，曹珍富和董晓蕾将其推广为更一般的猜想，但随后被证明这个猜想也有反例。最终，研究者们提出了更精确的版本——猜想3，即当存在正整数r, s, t满足aʳ + bˢ = cᵗ时，方程xʳ + by = cᵗ仅有的解满足min{y, z} > 1。
2. **特殊情况的解决**: 对于形如(p² - 1, q, p)的商高数组，S. Cenberci和H. Senay利用代数数论的方法解决了猜想3的一个特殊情况。他们证明了当虚二次域Q(√i)中的主理想数[p]的阶为1或偶数时，方程x² + qᵐ = pⁿ仅有解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。
3. **本文贡献**: 本文采用初等方法证明了当q ≡ 3(mod 4)时，方程x² + qᵐ = pⁿ仅有解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。这种方法避免了复杂的代数数论工具，使得结论更加普遍。
#### 证明过程
1. **引理1**：任何满足条件X² + Y² = Z²的商高数组(X, Y, Z)都可以表示为X = 2fg, Y = f² - g², Z = f² + g²，其中f和g是满足一定条件的正整数。
2. **引理2**：对于形式X² + Y² = Zⁿ(n为正奇数)的方程，任何解(X, Y, Z)都可以用特定的方式表示出来。
3. **引理3**：对于给定的奇素数p，方程X² + Y² = p最多只有一个解(X, Y)。
4. **引理4**：当p和q是满足q² + 1 = 2p²的奇素数时，方程q²ᵐ + 1 = 2pⁿ仅有解(r, s) = (1, 2)。
基于这些引理，我们可以进一步证明主要结论：当q ≡ 3(mod 4)时，方程x² + qᵐ = pⁿ仅有解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。这一结果不仅展示了初等方法在解决复杂Diophantine方程中的有效性，也为未来的研究提供了新的视角。
#### 结论
通过对特定条件下的指数Diophantine方程x² + qᵐ = pⁿ的研究，我们证明了当q ≡ 3(mod 4)时，该方程仅有一个正整数解(x, m, n) = (p² - 1, 2, 4)。这一成果不仅深化了我们对这类方程的理解，也为进一步研究提供了有价值的线索。未来的研究可以考虑更多特殊情况下的解的存在性问题，以及探索更为通用的方法来处理更广泛的指数Diophantine方程。
