正交多项式的极值性质 (1997年)

正交多项式是数学中一类在给定权函数下的多项式族，其中任意两个不同多项式的内积为零。在数值分析和函数逼近理论中，正交多项式扮演着重要的角色，特别是在多项式最佳逼近方面。本文的作者高文玲和龙马，通过利用多项式最佳逼近的相关定理，证明了正交多项式的一个重要极值性质。文中提到的“多项式最佳逼近定理”可能指的是Weierstrass逼近定理，该定理表明在闭区间上的连续函数可以被多项式以任意精度一致逼近。 描述中提到的“权函数”是一个定义在区间上的正值函数，它在构造正交多项式时起到权重的作用。正交多项式与权函数的关系通常通过内积来体现，其中内积由权函数的权重决定。在正交多项式理论中，常见的权函数包括勒让德权函数、切比雪夫权函数和高斯权函数等。 文中引用了Huang在文献[1]中的结论，这表明正交多项式理论是一个不断发展和完善的领域，后来的研究者在前人工作的基础上进行推广和深化。提到的多项式最佳逼近的范数通常涉及Lp空间，即在p次幂可积函数空间中，通过最小化p次幂积分（即Lp范数）来找到最佳逼近多项式。正交多项式在这些逼近问题中往往能够获得特殊的性质和简化的解决方案。 引理1说明了在Lp范数下，找到函数的最佳逼近多项式需要满足的一个条件，即逼近多项式与原函数在权函数下的差的p次幂的积分为零。引理2则揭示了最佳逼近多项式具有的零点性质，即在区间[-1, 1]内，至少有与多项式次数加一相等数量的不同零点。这些零点在多项式逼近理论中具有重要意义，因为它们有助于确保逼近多项式不仅在数值上接近原函数，而且在结构上也具有一定的优势。 正文中描述了利用Lagrange插值法构造的插值多项式以及与之相关的函数F(x, t)。Lagrange插值法是数值分析中的一种基本方法，可以用来构造通过一组给定点的多项式。在逼近理论中，这些插值多项式可以用来研究函数的最佳逼近问题。 最终，通过引入的定理和推论，本文不仅证明了正交多项式在多项式最佳逼近理论中的极值性质，还提供了关于其他权函数及相应范数推广结果的可能性。这种极值性质的证明不仅加深了对正交多项式理论的理解，也为多项式逼近领域提供了新的研究方向和工具。这篇论文的研究成果对于计算数学、数值分析以及与之相关的应用领域都有着重要的意义和广泛的应用前景。