关于定常线性系统最优调节器的逆问题 (1997年)

定常线性系统最优调节器的逆问题是指在已知定常线性系统和二次性能指标的情况下，如何选择加权矩阵Q和R，使得设计出的最优调节器可以满足闭环系统对动态特性的特定要求。这个问题在控制理论领域具有重要意义，因为它能够帮助工程师和研究人员根据实际需求选择合适的加权矩阵，以达到期望的控制效果。 在介绍的文献中，首先定义了一个连续定常线性系统模型，其中状态向量x(t)和控制向量u(t)分别属于实数空间R^n和R^m。系统由矩阵A、B、Q和R描述，其中A和B是已知的系统矩阵，而Q和R是我们需要确定的加权矩阵。Q和R的选择会直接影响最优调节器的设计。 最优调节器的设计通常是在给定Q和R的情况下，通过求解Riccati代数方程来得到反馈增益矩阵K，进而确定闭环系统的动态特性。然而，当需要根据闭环系统的性能要求反向求解Q和R时，问题就变成了最优调节器的逆问题。 该文献提出了一种方法来简化求解加权矩阵Q和R的过程。研究者注意到系统方程中矩阵方程的存在性，即矩阵A、B、P、Q、R和K之间的关系。通过代入和解代数方程的方法，提出了一套理论和步骤来求解Q和R。 具体的求解方法涉及到了定理1和定理2的证明。定理1表明，只要矩阵A、B和K给定，就能够通过求解线性方程组得到非零解P。定理2则说明了在P已知且非奇异的情况下，可以进一步得到对称矩阵Q和R的确定方法。 在求解过程中，会用到极点配置方法来选取矩阵K，这样可以使得闭环系统具有事先指定的极点，从而达到稳定性和性能的要求。文中还提到了对于矩阵P、Q和R的正定性和正半定性的讨论，以确保系统稳定并满足性能要求。 文章中通过一个具体的例子来说明如何使用该方法来确定加权矩阵Q和R。这个例子通过设定一个二阶系统，并假定其开环不稳定，说明了如何通过选择合适的反馈增益矩阵K，进而求得矩阵P，并最终确定矩阵Q和R。在确定了这些矩阵之后，需要验证并调整它们，以确保它们满足正定性或正半定性的要求，从而确保闭环系统的稳定性和控制性能。 在该文献的研究基础上，我们可以了解到最优调节器的逆问题是一个复杂但非常实际的问题，它要求研究者不仅要有扎实的数学和控制理论基础，还需要有解决实际问题的能力。通过这种方法的提出和应用，可以为工程师提供一种系统化的手段，帮助他们更好地设计和实现定常线性系统的最优调节器。