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马尔可夫跳变线性系统最优控制的研究现状与进展.docx
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马尔可夫跳变线性系统最优控制的研究现状与进展.docx
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随着生产技术的现代化和工业过程的复杂化,许多实际系统在运行过程中往往由于某些随机突变因
素,如环境突变、子系统之间关联改变和系统组件故障等,导致系统的结构或参数发生改变。一般的线性
定常系统模型已经无法满足完整描述此类系统的需求。针对此类系统,“马尔可夫跳变线性系统”的概念应
运而生
[1]
。MJLS 是一种具有多个模态的随机系统,系统在各个模态之间的跳变转移是由一组马尔可夫链
决定的。作为表示不确定性系统的一种模型,MJLS 模型是通过状态转移矩阵来描述各个模态权重的。相
比于传统的控制系统模型,MJLS 模型因其在表示过程中可以产生突变而更能精确地描述实际工程应用中
的系统。因此,对 MJLS 的研究受到许多国内外学者的广泛关注
[2-6]
。
根据系统的动态特性,MJLS 一般可以分为离散时间 MJLS 和连续时间 MJLS。对于一个给定的概
率空间(Ω,F,θ),离散时间 MJLS 可以描述为
(1)
式中,x(k)、u(k)和 θ(k)分别表示状态变量、输入向量以及系统模态。随机过程{θ(k);k>0}由一条离
散时间齐次马尔可夫链表示,其中 θ(k)在有限的集合 L={1,2,…,l}中取值,其模态转移概率为:
Pr{θ(k+1)=j|θ(k)=i}=λ
ij
,且有 类似的,连续时间 MJLS 可以描述为
(2)
随机过程{γ(t);t>0}是一个时间连续、状态离散的齐次马尔可夫过程,其模态转移概率表示为
式中,h>0,ο(h)为 h 的无穷小量。对于每个模态 i,有
文[4]中提到的经济学模型可以看作是 MJLS 建模应用的典型案例。一个国家的经济状态可以大致分
成 3 种可能的模式:“正常”、“繁荣”和“萧条”,它们之间的切换可以被建模为均匀的马尔可夫链。采用离散
MJLS 模型时,通过计算采样时刻数据的转移概率,得到状态转移矩阵为
国家经济状态之间的转换如图 1 所示。类似地,采用连续 MJLS 模型时,状态转移矩阵为
图 1 离散 MJLS 模型下国家经济状态之间的转换 Fig.1 The transition between national economic states under
the discrete-time MJLS model
图选项
国家经济状态之间的转换见图 2。
图 2 连续 MJLS 模型下国家经济状态之间的转换 Fig.2 The transition between national economic states under
the continuous-time MJLS model
图选项
另一方面,最优控制也是现代控制理论的一个中心课题。其研究问题可以概括为:根据受控系统的
数学模型,在一类容许控制集中寻找出一个最优的控制方案,使得系统能够按照预定的要求运行,并且使
得给定的性能指标最小。求解最优控制的常用方法有变分法、动态规划、极大值原理以及线性矩阵不等式
等,各种方法的特点以及其适用的应用场景见表 1。用最优控制设计的系统具有如下特点:1) 适用于多
变量以及时变系统;2) 可以任意地设置初始条件;3) 可以满足多个不同的目标函数要求。最优控制理论
在处理时间最少、能耗最小、跟踪和调节等问题时具有明显的优势。随着计算机技术的发展,最优控制的
应用领域越来越广泛,例如生产制造、航空航天、经济活动和网络控制系统等。最优控制理论的发展对于
经济发展和国防军事等方面都起着至关重要的作用。
作为一种多模态的系统,MJLS 一般用来模拟具有突变特性的动态系统,并且广泛应用于现代社会
的多个领域,例如金融经济
[7-9]
、自然生态
[10-11]
、智能交通
[12-14]
以及网络控制系统
[15-16]
等。变分法、动态
规划、极大值原理以及线性矩阵不等式等仍然可以用来求解 MJLS 的最优控制问题,但是在某些方面,这
些方法需要做出适当的改变,例如 Riccati 方程、哈密尔顿函数等。对 MJLS 最优控制的研究,最早可以
追溯到文[17-18],它们为这一领域的未来研究奠定了基础。在文[17]中,Sworder 考虑了连续时间 MJLS
在有限时域情况下的线性二次控制问题,应用极大值原理,推导出了产生最优反馈增益的微分方程。
Wonham 在文[18]中应用了动态规划方法,处理了无限时域情况下连续时间 MJLS 的线性二次控制问题,
设计了最优控制器。但是由于稳定性标准的选择,使得最终结果并不充分。因此对 MJLS 最优控制的进一
步研究具有重要的理论和实际意义。
表 1 最优控制问题的一般求解方法 Tab.1 General solving methods for the optimal control problems
方法
特点
适用场景
变分法
对解决开集约束的最优控制问题十分有效,无法处理闭集性约束
最速下降、最短路径、
图像去噪等
动态规
划
原理简明,适用于计算机求解;必须保证系统的状态变量满足“无后效性”;状
态变量的维数增加,要求计算机内存成指数倍增长,计算工作量也大大增
加;处理约束条件效率较低,适合小规模问题
库存管理、资源分配、
设备的更新排序以及装
载等
极大值
原理
可以解决变分法无法解决的最优控制问题,即控制有约束,Ham-iltonia 函数
对控制变量不可微时的情况;一般情况下只能得到极值的必要条件,得到最
优控制的解析表达式并构成反馈控制也比较困难
航天器姿态控制、基金
最优管理、最短时间、
最少燃料等
线性矩
阵不等
式
在处理凸优化问题上有明显优势;有多种算法可供选择,MATLAB 更是提供
了采用投影算法的 LMI 工具箱;无法找到对应的物理意义,“LMI 满足的条件”
和“实际环境要满足的条件”无法直接转换
位姿估计、视觉定位、
锥补线性化、汽车主动
悬架控制等
表选项
近几十年来,为了便于 MJLS 在实际工程中的应用,国内外专家做出了大量努力,并在 MJLS 的建
模、控制、滤波、稳定性分析以及故障诊断等方面取得了突出成就。在一篇文章中将所有前人对 MJLS 所
做的贡献详细的介绍是不现实的,因此本文着重对 MJLS 的最优控制的研究现状进行综述,并指出该领域
未来值得关注的研究方向。
1 一般情况下的 MJLS 最优控制
本节主要概括了一般情况下 MJLS 最优控制问题的研究现状,即由式(1)、式(2)给出的不包含噪
声、时滞等情况的原始 MJLS。另外对于马尔可夫链在不同空间取值的情形也有所涉及。针对此类 MJLS
的最优控制问题的研究已经比较成熟,常用的求解方法是应用动态规划法或极大值原理法,通过求解
Riccati 方程来设计最优控制器。
1.1 离散时间情况
对于式(1)所示的离散时间 MJLS,在有限时域情况下,考虑如下性能指标:
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