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切换非线性系统采样控制的研究现状与进展.docx
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切换非线性系统采样控制的研究现状与进展.docx
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随着现代化生产和工业过程日益复杂,存在许多系统是无法用简单的差分方程或微分方程描述的.针
对此类系统,“混杂系统”的概念应运而生
[1-2]
.混杂系统被定义为一类由多种动态子系统(例如离散动态子系
统、连续动态子系统、跳跃突变子系统)组合而成的统一动态系统
[3]
.处于混杂系统中的动态子系统之间存
在互相作用并且统一的关系.由于混杂系统复杂的结构,导致其具有较大的不确定性以及强时变性,这使
得对混杂系统进行稳定性分析更加复杂和困难
[4]
.
而切换系统作为一类重要而特殊的混杂系统,它是由有限个数的子系统和控制子系统切换次序的切
换律(切换信号)构成的
[5]
.其中,切换系统切换律决定了每个时刻子系统的激活状态,并且在每个时刻有且
仅有一个子系统被激活. 图 1 给出了切换系统的基本结构示意图.
图 1 切换系统基本结构示意图 Fig.1 Illustrator of basic structure of switched system
图选项
切换系统被广泛应用于现代工业控制系统中,例如变电站控制系统
[6]
、化学反应器控制系统
[7]
、飞
行器导航控制系统
[8]
及智能交通控制系统
[9]
等领域.并且,其切换控制思想与变结构控制
[10-11]
、Bang-Bang
控制
[12]
及多模型自适应控制
[13-14]
等智能控制思想相统一.这些控制方案的基本思想均是当被控对象改变或
者时间推移时,所设计的控制器会切换相应的模态.除此之外,相较于非切换系统,切换系统具有更强的
鲁棒性以及更高的灵活性,可改善系统的动态性能以及克服单个控制器的不足.因此,对采样系统的研究
具有重要的理论和实际意义.
与此同时,随着计算机技术的快速发展,对控制领域产生了重要的作用和影响.目前,很大一部分系
统都是由计算机来实现控制的.在此种情况下,控制输入只能利用离散的采样时刻数据设计,并且其只在
离散的采样时刻更新.所以当采样频率低于某一数值时,原有的控制器已经达不到期望的控制效果,系统
的性能会变差,甚至于最终导致系统不稳定.从而,控制器的重新设计是非常必要的,采样控制的研究受
到越来越多国内外学者的欢迎.
在采用控制系统中,采样器执行采样任务,它具有多种采样的形式,比如采样周期固定的等周期采
样,以及采样周期不固定的变周期采样等.与具有连续时间控制器的连续系统相比,基于采样控制的连续
系统具有以下优势:
1) 基于采样时刻数据的采样控制器具有更好的控制精确度以及稳定性;
2) 采样控制器在实际应用中是更易于实现的;
3) 连续的控制信号对网络带宽要求很高,并且在大部分情形下,连续的信号在许多实际的工程应用
中是无法实现的,而基于采样数据的采样控制器能够很好地避免这些问题.
因此,研究切换非线性系统的采样控制问题是非常有必要的.为此,本文对目前切换非线性系统采样
控制领域的研究现状进行综述,并指出该领域未来值得关注的研究方向.
1 基本问题及分析方法
考虑一类切换非线性系统模型:
(1)
其中,x(t)为系统的状态变量,σ(t):[t
0
,+∞)→N={1,…,N}是非线性系统的切换信号,t
0
指代系
统的初始时刻,N 为系统子系统的个数. f
h
(x(t)),∀h∈N 为非线性函数.当 σ(t)=h,∀h∈N,意味着第 h 个
子系统处于激活状态.
对于非任意切换信号下的切换系统而言,在 t 时刻的系统模态不仅仅只与当前时刻 t 有关,还可能
取决于系统当前的状态 x(t).由此,切换信号可以被分为时间依赖切换信号以及状态依赖切换信号,相应
地,可将系统划分为时间依赖型切换系统以及状态依赖型切换系统
[15]
.时间依赖型切换系统,指的是切换
发生在时间变量达到预设条件时.而状态依赖型切换系统,会对系统状态进行监测,通过设计切换面,其
状态空间被划分为多个区域,相应的区域对应着唯一确定的子系统,当系统状态轨迹到达切换面时,相应
的子系统之间发生切换.在文[16]中指出,好的切换信号应满足如下的性质:
1) 能保证切换系统的稳定;
2) 应避免快速切换,切换频率不应过高;
3) 具有较好的鲁棒性;
4) 仅可以利用系统可量测的信息来设计.
在文[17]中将切换系统的控制问题归纳为以下 3 个问题:
1) 系统在任意切换信号下的控制问题;
2) 系统在受限切换信号下的控制问题;
3) 通过设计合适的切换信号保证系统满足期望的性能.
对于切换系统,由于其受到切换信号的影响,其属性不单单是其子系统属性的叠加,即使所有的子
系统都是稳定的,但整个切换系统不一定是稳定的;或者,即使所有子系统都是不稳定的,也有可能通过
设计合适的切换律使得此切换系统是稳定的
[17]
.切换系统主要的研究方法可分为:公共李亚普诺夫函数
法、多李亚普诺夫函数法以及驻留时间方法.
1) 公共李亚普诺夫函数法
公共李亚普诺夫函数法一般是用来解决系统在任意切换信号下的稳定问题.对于切换非线性系统
(1),其所有子系统存在一个公共李亚普诺夫函数 V(x)使得所有子系统在该李亚普诺夫函数 V(x)下都能渐
近稳定是保证切换系统(1)在任意切换信号下渐近稳定的充分条件.其中,V(x)则被称为系统(1)的公共李亚
普诺夫函数
[18]
.
需要指出的是,公共李亚普诺夫函数方法导出的稳定性条件仅仅是一个充分条件,对于一个切换系
统而言,当找不到公共李亚普诺夫函数时,并不意味着它是不能在任意切换信号下被稳定的.并且,公共
李亚普诺夫函数方法需要针对所有子系统找到一个共同的李亚普诺夫函数,这对系统的要求较高,所得到
的结果具有较强的保守性.
2) 多李亚普诺夫函数法
在多李亚普诺夫函数方法中,切换系统中的每个子系统分别对应着一个李亚普诺夫函数,最终得到
的多李亚普诺夫函数由每个切换区间内处于激活状态子系统对应的李亚普诺夫函数组成
[19]
.因此,这个多
李亚普诺夫函数未必是连续的,其沿着系统的轨迹可能也不是单调递减的,但它是分段可微的.
在文[20]中指出,如果能够找到一个多李亚普诺夫函数使得在每个切换区间内处于激活状态子系统
对应的李亚普诺夫函数是递减的,并且其值在切换时刻是非增的(如图 2 所示),则此切换系统是渐近稳定
的.
图 2 多李亚普诺夫函数法第 1 种情况示意图 Fig.2 Illustrator of the first state of multi-Lyapunov function
图选项
随着研究的深入,文[21]提出关于多李亚普诺夫方法的保守性更弱结论.其中指出若同一个子系统每
次被激活时刻的李亚普诺夫函数值小于上一次被激活时刻的值,整个系统的能量处于非增的趋势(如图 3
所示),此时,切换系统也能得到渐近稳定的结果.
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