行正定矩阵的若干结论 (2011年)

在数学领域，尤其是矩阵理论中，行正定矩阵是一个相对较新的概念，它在2011年由王应选和何承源两位学者所提出并进行了深入研究。他们发表的文章《行正定矩阵的若干结论》，不仅对行正定矩阵的定义、性质进行了阐述，还通过引入亚正定矩阵这一概念，探讨了行正定矩阵的等价命题和充分条件。这项研究不仅扩展了正定矩阵的理论范围，还为其应用提供了新的视角。 文章从矩阵的基本概念入手，对行转置和列转置矩阵进行了定义。行转置矩阵（AR）和列转置矩阵（AC）作为矩阵操作的基本元素，是后续讨论的基础。接着，文章给出了行正定矩阵的明确定义：对于任意非零向量x，当矩阵A与x的行转置矩阵的乘积后的转置再次与x进行乘积的结果大于零时，矩阵A被称为行正定矩阵。此外，亚正定矩阵的引入是文章的一个亮点，它为理解行正定矩阵提供了一种新的视角。 亚正定矩阵的概念建立在矩阵分解的基础上，将一个矩阵分解为对称分支和反对称分支。文章定义了如果对称分支是正定矩阵，那么原矩阵就被认为是亚正定的。通过定义亚正定矩阵，作者为行正定矩阵的研究提供了新的工具和方法。文章通过两个引理进一步阐述了矩阵操作的性质和亚正定矩阵的特征，引理1详细描述了行转置、列转置和次转置的乘法性质，而引理2则证实了亚正定矩阵的完全主正性和可逆性。 文章的核心内容是围绕行正定矩阵的几个重要定理。定理1提出了行正定矩阵与亚正定矩阵之间的关系，这一定理是行正定矩阵和亚正定矩阵之间关系的充要条件，即一个矩阵的行转置是亚正定的，那么这个矩阵就必定是行正定的，反之亦然。这一发现为行正定矩阵的判定提供了方便，因为它将判定的焦点转向了更易操作的亚正定矩阵。定理2则是关于行正定矩阵的可逆性的，证明了行正定矩阵一定是可逆矩阵，这一定理的证明基于行正定矩阵的行转置是亚正定的，以及亚正定矩阵的可逆性。定理3涉及行正定矩阵在矩阵运算下的稳定性，具体来说，它表明两个行正定矩阵相加仍然是行正定的，而如果两个行正定矩阵的差也是行正定的，那么它们相减的结果也是行正定的。这些结论显著地扩展了行正定矩阵的应用范围，并为正定矩阵理论提供了重要的补充。 王应选和何承源的研究成果不仅在理论上具有重要的学术价值，而且在实际应用中也具有广泛的应用前景。特别是在需要对矩阵进行正定性分析的数学和计算机科学领域，如控制系统、优化理论、信号处理等，行正定矩阵的研究成果可以应用于系统的稳定性和优化问题中。此外，由于亚正定矩阵的引入，行正定矩阵理论的应用领域被进一步拓宽，为矩阵理论带来了新的讨论和发展方向。 总结来说，《行正定矩阵的若干结论》这篇论文，通过对行正定矩阵的定义、性质以及等价命题的深入研究，不仅完善了矩阵理论，而且为正定矩阵的研究和应用提供了新的理论基础。王应选和何承源的这一研究成果，不仅丰富了数学领域的内容，也对相关的科学和工程技术领域产生了积极的推动作用。