6．5 正定矩阵1
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2022-08-03
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6．5 正定矩阵
一、惯性定理
二次型的标准形显然不是唯一的，只是标准形中所含项数是确定的（即是二次形的秩）， 不仅如
此，在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是不变的（从而负系数的个数也不变）， 也就是
有：
定理 6．9 设有二次型
()
T
f x x Ax=
，它的秩为
r
，有两个可逆线性变换
Cyx =
及
Pzx =
使
22
22
2
11 rr
ykykykf +++=
（
0
1
−r
k
）
及
22
22
2
11 rr
zzzf
+++=
（
0
1
−r
）
则
12
, , ,
r
k k k
中正数的个数与
12
, , ,
r
中正数的个数相等．
定理 6．9 称为惯性定理，证明请学生参考有关文献．
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数．若
二次型 f 的正惯性指数为
p
，秩为
r
，则
f
的规范形便可确定为
22
1
22
2
2
1 rpp
yyyyyf −−−+++=
+
．
课堂提问：实二次型
()
T
f x x Ax=
的正、负惯性指数与二次型的矩阵
A
的正、负特征值的个数
有什么关系？
例 5．1 二次型
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) 3 2 2 2f x x x x x x x x x x x x= + + + + +
，则
f
的正惯性指 数
为 ．
解
f
的矩阵
111
1 3 1
111
A
=
，由
1 1 1
1 3 1 ( 1)( 4)
1 1 1
EA
− − −
− = − − − = − −
− − −
，
知
A
的特征值为
1 2 3
1, 4, 0
= = =
．故
f
的正惯性指数为 2．故填 2．
例 5．2 设二次型
222
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) ( ) 2 2 2f x x x a x x x x x x x x x= + + + + +
的正、负惯性指数分
别为 1，2，则（ ）．
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