2个复矩阵若干广义逆的结构表达式及其块独立性 (2011年)

在数学领域，矩阵的广义逆（也被称为伪逆）是线性代数中一个重要的概念，尤其在处理非方阵、秩亏损或病态问题时。广义逆的研究与应用横跨多个学科，如统计学、工程学、计算机科学等。在本论文中，作者丁泽楠和魏木生详细探讨了两个复矩阵的广义逆的结构，并且针对两种不同的定义，提供了矩阵块独立性的充要条件。 论文中描述了复矩阵的广义逆定义，通常通过矩阵方程定义，确保广义逆在左乘原矩阵、右乘原矩阵以及共轭转置运算下的特定性质。具体而言，对于矩阵A，其广义逆G满足四个等式：AGA=A, GAG=G, (AG)H=AG, (GA)H=GA，其中H代表共轭转置。在此基础上，根据不同的等式要求，引入了多个广义逆的概念，例如{1}-逆、{1,2,3}-逆、{1,2,3,4}-逆等，分别对应于满足全部、部分矩阵方程的逆。 论文的核心内容之一是Q-SVD分解，这是对奇异值分解（SVD）的一个推广，用于处理复矩阵。Q-SVD分解将两个复矩阵A和C分解为酉矩阵和奇异值的形式，这种方法在数学和工程领域有着广泛的应用。Q-SVD结构形式为后续分析两个矩阵的广义逆和块独立性提供了基础。 块独立性是广义逆理论中的一个高级概念，它描述了两个矩阵广义逆之间的相互关系。如果两个矩阵A和C分别存在广义逆G和H，使得A的任何广义逆与C的任何广义逆的乘积仍然是A的广义逆，则称A和C是关于η-逆块独立的。这种块独立性的研究有助于理解矩阵运算的内在结构，尤其在矩阵的分解、优化和应用中有着重要的理论和实际意义。 在文献中，已有的研究主要集中在特定类型的广义逆上，例如{1}-逆、{1,2}-逆和{1,3}-逆。本论文则扩展了对{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆和{1,3,4}-逆等其他类型广义逆块独立性的研究。通过对Q-SVD分解结构的深入分析，本论文提出了两种广义逆结构表达式的具体形式，并针对{1,2,3}-逆和{1,3,4}-逆等提出了块独立性的充要条件。 在预备知识部分，作者介绍了矩阵论中一些基本的记号和概念，例如矩阵的共轭转置、列空间、零空间、矩阵的秩和维数等。这些概念是理解矩阵广义逆和块独立性不可或缺的基础知识。 值得注意的是，本论文不仅为复矩阵广义逆提供了深入的研究，还对块独立性的定义进行了更为细致的探讨，并给出了严谨的数学证明。这一系列工作有助于推动数学理论的发展，并为实际问题的求解提供了理论工具。此外，本论文的研究还得到了国家自然科学基金资助和上海市重点学科基金资助，显示了其在学术界的重要性和应用前景。