实正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在各种数学领域和应用中都有广泛的应用，例如在数学规划、优化理论、信号处理、量子力学等领域。正定矩阵的正定性不仅是矩阵理论研究的基础，也是理解和解决实际问题的关键因素之一。
矩阵的正定性可以追溯到二次型和Hermite型的研究，最初，这一概念主要应用于实对称矩阵或Hermite矩阵。1970年，Johnson提出了n阶实矩阵的正定性定义，即对于任何非零向量x，矩阵A与x的乘积（即Ax）的二次型xTAx总是正的。这个定义将正定性的研究范围从对称矩阵扩展到了非对称矩阵。
正定矩阵的性质包括但不限于：所有的特征值都是正的；矩阵的行列式是正的；矩阵的所有顺序主子式（即左上角开始的各个顺序子矩阵的行列式）也是正的。这些性质是判断矩阵是否为正定矩阵的重要依据。
本文的作者在之前的研究基础上，探讨了正定矩阵与规范矩阵之间的关系，并给出了实矩阵正定的一些新的等价条件与一系列性质。规范矩阵是指满足某些特定条件的矩阵，例如酉矩阵、正交矩阵等。文中提出的换位子概念是用来刻画两个矩阵是否可交换的一个工具。
文章提出了一系列引理和定理来描述正定矩阵的判据。引理1给出了几个关于矩阵正定性的等价命题，其中涉及到了矩阵的转置、特征值的实部、矩阵的对称分支与反对称分支等。定理1则阐述了正定对称矩阵和正定矩阵乘积的性质。引理3和定理2探讨了规范矩阵与正定矩阵之间的关系。
特别地，定理3给出了一个充分必要条件，即对于矩阵A，如果存在一个非奇异的实矩阵Q使得QTAQ为实规范矩阵，并且S-1A的实部大于零，则矩阵A是正定的。这里的规范矩阵是指其满足与某种标准矩阵相似的性质，而实规范矩阵通常是指与对角矩阵相似的实矩阵。
定理4则从另一个角度描述了正定矩阵的充分必要条件，即矩阵A分解为对称部分S和反对称部分K，若存在一个实正定对称矩阵p使得pS的秩大于零，并且S与K的换位子与p可换，则矩阵A是正定的。
文章通过对正定矩阵的深入研究，提出了这些新的判据，这些判据不仅丰富了理论，也为实际应用提供了便利。例如，在优化问题中，如果能够判断出矩阵是正定的，就可以保证某些数学问题的全局最优解存在。在信号处理领域，正定矩阵能够确保信号的稳定性，避免系统的不稳定性问题。
在数学研究和工程实践中，正定矩阵的性质和判据起着非常重要的作用，它们能够帮助研究者和工程师更好地理解和处理各种数学问题和实际问题。随着计算机科学和相关技术的发展，正定矩阵及其判据的研究有着更加广阔的应用前景。
