线性代数281
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2022-08-03
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线性代数
-28 课 正定矩阵与最小值
一、知识概要
本节围绕着正定矩阵这一主题，将之前介绍的知识：主元，行列式，特征值
等联系起来，并通过正定矩阵判据式
Ax 引出矩阵与函数之间的关系与对应
特点，介绍如何找到函数最小值。并绘制对应函数图像，给出几何上的解释。
二．正定矩阵
我们从 2*2 的对称矩阵开始研究：
设 A =
，如何判定其是否为对称矩阵？
给出下面 4 种判定：
1）特征值判定：
> 0,
> 0。即特征值皆为正数。
2）行列式判定：a > 0，ac -
> 0。即顺序主子式均为正值。
3）主元判定：a > 0，
> 0。主元均为正数。
4）*判据式：
Ax > 0。
注：线性代数范围内，正定矩阵需要是对称阵。
例如设矩阵 A =
,则其中？处填入 18 以上的整数，该矩阵皆为正定。
但是如果其中填的正好是 18，此时该矩阵行列式为 0，此时的 A 矩阵称为半正定
矩阵，只有一个主元 2，且 A 为奇异矩阵。特征值为 0,20，都≥0。
好的，上面我们从普通的主元，特征值，行列式角度分析了矩阵 A，那么接
下来我们就最重要的判据式：
Ax > 0 来展开讨论。
先说说 A =
这个半正定的情况，我们根据判据式，得到如下算式：
Ax =
= 2
+ 12
+ 18
a 2b c
我们看到，对应的
，
，
前的系数分别为
中的 a，2b，c
这就是二次型，而所谓判定 A 是不是正定矩阵，也就是判别式
Ax 所构造
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