半正定矩阵算术平方根的表示 (2003年)
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第
25
卷第
1
期
2003
年
1
月
南京工业大学学报
Vol. 25 No.1
Jan.
2003
JOURNAL
OF
NANJING
UNIVERSITY
OF
TEC
阳、
JOLOGY
半正定矩阵算术平方根的表示
张维荣宋桂安
2
(1.南京工业大学理学院，江苏南京
210009;
2.
解放军理工大学理学院，江苏南京
211100)
摘
要:利用特征根的Lagr
ange
插值多项式，给出了半正定矩阵算术平方根的表示，即公式解，避免了求过渡矩阵
的繁琐过程。当特征根难以求出而特征根的对称式易求时，半正定矩阵的算术平方根可直接由矩碎的本身的性质
来表示。
关键词:半正定矩阵;算术平方根;Lagr
ange
插值多项式;对称式
中固分类号
:α41
文献标识码
:A
文章编号
:1671-7643(2003)01-0055-04
文献
[IJ
从理论上给出了半正定矩阵的算术平
方根是存在且唯一的。但计算时往往是通过过渡矩
阵及每一个特征根来计算半正定矩阵的算术平方
根，这种方法比较繁琐，从而给实践带来了很大的麻
烦。本文利用La
grange
插值多项式给出了半正定
矩阵算术平方根的表示，即定理
4
。特别当半正定
矩阵的互异特征根个数较少时，能否避免求出矩阵
的特征根来求半正定矩阵的算术平方根，利用本文
的定理
3
用特征根的对称式来表示算术平方根，避
免了求过渡矩阵及特征根的繁琐过程。
1
主要结论
定义
1
设
Aε
c
nXn
且
A
半正定，若存在半正
定矩阵
S
使得
S2=A
，
则称
S
为
A
的算术平方根，
记作
S
=A÷
或
S=..(
互。
定理
1
[]]
半正定矩阵的算术平方根是存在且
唯一的。
定理
2
半正定矩阵
A
的算术平方根
S
是矩
阵
A
的
k
-1
次多项式，其中
h
是
A
的互异特征根
个数。即存在唯一的走一
1
次多项式伊(，l.
)
，使得
S=ψ
(A)
证明
构造迭代序列
[2]
Sη+]
=
Sn
+
~
(A
-
S~
),
S] = 0
其中不妨设
A~I
，
则
S
是
A
的多项式，即存在多
收稿日期
:2002-05-27
项式
j(
λ)
，使得
j(A)
=
Sn
。由于
Sn
是收敛的且
设
S=
limS
n
，于是存在一个局部的解析函数
gC\).
，
使得
S=g(A).
又由于
A
是对称矩阵，则
A
可对
角化，于是
A
的极小多项式为
mA
(,l.) = (), -
À.]
)
(λ
一
λ2)
…
(λ-
À.
k
)
其中
λ]
,
À.
2
, … ,
À.
k
是
A
的互异特征根。于是存在
k-l
次多项式伊
(À.)，
使得
g
(，l.)
=
mA
(，l.
)q(
λ)+
伊
(，l.)。则
g(A)=
ψ
(A)
，
~P
S=ψ
(A)
若存在另一个
h
一
1
次多项式
tþ
(，:t)，使得
S=
ψ
(A)
，
则
伊
(A)
一
tþ(A)
=O
，
deg(
ψ
(
À.
)
一
ψ
(
À.
))<k
这与
mA(
λ)
是
A
的极小多项式相矛盾，于是以
À.)
=
tþ( À.)
。则
<p(，l.)
是唯一的走一
1
次多项式。
定理
3
设
Aεcπ
×
η
，
A
半正定
ψ(λ)
= ao +
a]
λ+
…
+
ak-I
λ
卜
l
且
S=
伊
(A)
为
A
的算术平方
根，则存在飞!
andennonde
矩阵
V
1
À.]
…
Aγl
1λ
。…
À.~
-1
I
L.
....l
使得~二
=ß
，
且
ao
，
al'
1
À.
k
…
À.
~-I
ak-I
均为
À.
1
，À.
2
，
…，幻的对称式，其中
α=(
句，
肉，…，
ah
I
)T
，卢=
(;-I;",
n
二，…
，
~V
，À.
I'
作者简介:张维荣(1
972-)
.男，江苏南京人，硕士，主要研究方向为算子理论。
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