2019-2020复变函数与积分变换B期末考试A卷1

复变函数与积分变换是数学领域的一个重要分支，主要研究复数函数的性质以及积分变换的方法。本卷涉及的知识点主要包括复数运算、级数收敛性、拉普拉斯变换、傅里叶变换、复数函数的性质（如解析性、奇点及留数）以及复数解方程等。 一、选择题 1. 题目要求求解复数的乘积，考察复数的乘法规则。答案取决于正确应用复数乘法法则。 2. 此题考察复数的基本运算和表达式正确性。需要对复数的指数形式和欧拉公式有深入理解。 3. 确定复数项级数的收敛性，需要利用柯西判别法或比较判别法。这涉及到级数理论的基础知识。 4. 这道题目涉及拉普拉斯变换的性质，特别是逆变换的计算。 二、填空题 1. 考察复数解方程，需要应用指数函数的性质来解出复数z。 2. 计算幂级数的收敛域，需要运用级数收敛性的条件，如柯西判别法或根值判别法。 3. 提供了一个函数的微分方程，并要求求解其卷积，需要用到卷积的概念和单位阶跃函数的性质。 4. 这是一道积分计算题，需要求解特定函数的积分表达式。 三、解答题 1. 求复数的立方根，需要利用复数的极坐标表示和立方根的定义。 2. 对于复数积分，需要掌握复积分的计算方法，包括路径选择和参数化。 3. 题目涉及到解析函数的性质，尤其是柯西-黎曼方程和共轭关系。 4. 展开为洛朗级数，需要用到洛朗定理和幂级数展开的知识。 5. 计算傅里叶变换，要求熟悉傅里叶变换的基本公式和性质。 6. 求解函数的孤立奇点和留数，这是复变函数中的重要概念，涉及到柯西积分公式和留数定理。 这些题目覆盖了复变函数与积分变换的多个核心概念，包括复数运算、级数收敛性判断、拉普拉斯和傅里叶变换的应用、复数函数的性质以及复积分的计算。解答这些问题需要扎实的理论基础和熟练的计算技巧。