2013-概率论与数理统计-期末试题1

【概率论与数理统计-2013年期末试题1】 这是一份2013年的概率统计期末考试题目，涵盖了概率论的基础概念和应用。以下是对题目中涉及的知识点的详细解释： 1. **独立事件的概率计算**：题目中提到随机事件A, B, C相互独立，且各自发生的概率分别为P(A)=0.5, P(B)=0.25, P(C)=0.2。求至少有一个事件不发生的概率。这个概率可以通过计算所有事件都发生的概率的补集来得到，即1减去它们同时发生的概率。即P(至少一个不发生) = 1 - P(A) * P(B) * P(C)。 2. **正态分布的概率密度函数**：题目中的随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，要求Y=X的概率密度函数f_Y(y)。对于正态分布，如果X ~ N(μ, σ^2)，那么Y = g(X)也服从正态分布，其均值μ'和方差σ'^2满足μ' = g(μ)和σ'^2 = [g'(μ)]^2 * σ^2。由于Y = X，所以μ' = 0，σ'^2 = [g'(0)]^2 * 1 = 1。因此，Y的概率密度函数是标准正态分布f_Y(y) = (1/√2π) * e^(-y^2/2)。 3. **期望的性质**：设随机变量X和Y的期望分别是EX, EY，方差分别是DX, DY，且它们的协方差是Cov(X,Y)。题目要求2(234)EXY−+=的值。利用期望的性质，我们有EXY = EX * EY + Cov(X,Y)，代入给定的数值可以计算出结果。 4. **置信区间的计算**：给定一个服从正态分布的随机变量的样本平均值和标准差，以及置信度，要求计算置信区间。这里溶液中杂质的浓度服从N(μ, σ^2)，样本平均值x̄=0.834，样本标准差s=0.0003，置信度为0.95。对于正态分布，置信区间的公式是μ的置信区间为x̄ ± t_{α/2, n-1} * (s/√n)，其中t值由t分布表给出。这里是95%的单侧置信下限，所以α/2 = 0.025，n=4，查表找到对应的t值后可求得μ的置信区间。 5. **指数分布的性质**：题目中X和Y是独立的，且均服从参数为8的指数分布。指数分布的期望和方差分别是λ（参数）的倒数。求{min(X, Y)} ≤ 1的概率。对于两个独立的指数分布，最小值的分布仍然是指数分布，其参数是两分布参数的和。因此，这里的概率是P[min(X, Y) ≤ 1] = 1 - e^(-8/2)。 选择题部分涉及了独立事件、概率密度函数的识别、样本统计量的分布等知识点。例如，第2题是判断哪些函数可作为概率密度函数，第3题涉及到样本均值和样本方差的分布，第4题利用切比雪夫不等式求概率，第5题是检验统计量的分布。 三、四题是应用问题，涉及条件概率和联合分布的计算。三题中，首先需要计算从甲箱中取出特定组合的概率，然后在乙箱中抽取的概率；四题要求在均匀分布的联合概率空间内进行计算。 这些题目综合了概率论的基本概念，包括独立事件、概率密度函数、正态分布、期望与方差的性质、置信区间、指数分布以及条件概率等，这些都是学习概率统计时必须掌握的核心知识。