214因子分析法1
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2022-08-08
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214 因子分析法（FA）
1、因子分析概述
因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量
之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表
示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始
的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。
因子分析特征：1）因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比
较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义；2）主成分分析与因子分析
也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。主成分
分析利用原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；3）因子分析：潜
在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。
2、因子分析模型
设
( 1, 2, , )
i
X i p= L
为变量，如果表示为
1 1i i i im m i
X a F a F
m e
= + + + +L
1 1 11 12 1 1
1
2 2 21 22 2 2
2
1 2
m
m
p p p p pm p
m
X
F
X
F
or
X
F
m a a a e
m a a a e
m a a a e
é ù é ù é ù é ù
é ù
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú
= + +
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú
ê ú ê ú ê ú ê ú
ê ú
ë û
ë û ë û ë û ë û
L
L
M M M M M M
M
L
称为
1 2
, , ,
m
F F FL
公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。
是特殊因子，
i
e
是不能被前
m
个公共因子包含的部分。并且满足：
cov( , ) 0F
e
=
即
,F
e
不相关并且
1 2
, ,...,
m
F F F
互不相关，方差为 1，而
2
~ (0, )
i i
N
e s
。
3、因子载荷阵估计方法
要建立实际问题的因子模型，关键是要根据样本数据矩阵估计因子载荷矩阵 A,
对 A 的估计方法很多，主要有主成分法、主因子法及最大似然估计法。这里采用
较为普遍的主成分方法。
设样本的协差阵的特征值和对应的标准正交化特征向量分别为：
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