XUANEND#Linear-Algebra#14.正交向量与子空间1

# 正交向量与子空间 复习一下四个基本子空间的情形： | 子空间 | 基 | 维数 | | ----------------- | ---------------------------------- | ------ | | $C(\mathbf{A})$ | 主列 | $r$ | | $N(\mathbf{A})$ | 特解 | $ n-r$ | | $C(\mathbf{A}^T)$ | 行最简形$\mathbf{R}$的前$r$行 | $r$ | | $N(\mathbf{A}^T)$ | 初等矩阵$\mathbf{E}$的最后$ m-r$行 | $ m-r$ | $C(\mathbf{A}^T)$与$N(\mathbf{A})$的交角是90度，$C(\mathbf{A})$与$N(\mathbf{A}^T)$的交角也为90度。此即正交。 那么正交的意思是什么？那么就先从向量开始介绍。 正交即垂直。向量正交也就是说这两个向量的夹角是90度。  比如，看上面这个直角三角形。其三条边分别是向量$\mathbf{x}$、$\mathbf{y}$、$\mathbf{x}+\mathbf{y}$。怎么判断两个向量是正交的？ $$ \mathbf{x}^T\mathbf{y}=0 $$ 即两个向量做点积，结果为零，则两个向量正交。接下来，我们尝试证明这个结论。 我们来用向量的形式来表示勾股定理： $$ ||\mathbf{x}||^2+||\mathbf{y}||^2=||\mathbf{x}+\mathbf{y}||^2 $$ 但是要注意，这个公式只在向量正交的情形下成立。式中，$||\mathbf{x}||$即表示向量$\mathbf{x}$的长度。而，$||\mathbf{x}||^2=\mathbf{x}^T\mathbf{x}$。$\mathbf{x}^T\mathbf{x}$就是向量$\mathbf{