某年高数试卷
一、选择题(请选择正确答案编码填入下表中,每小题 3 分,共 24 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1. 微分方程
d
2
y
dx
2
− 3
dy
dx
+ 2y = xe
3x
的待定特解 y
∗
的一个形式是( ).
(A) y
∗
= (ax + b) + ce
3x
(B) y
∗
= (ax + b) + cxe
3x
(C) y
∗
= (ax + b)e
3x
(D) y
∗
= (ax + b)xe
3x
2. 过点 (3,2,-7) 且在三坐标轴上的截距相等,则此平面方程是 ( ).
(A) x + y + z + 2 = 0 (B) z + y + z − 2 = 0
(C) x − y + z − 2 = 0 (D) x − y − z − 2 = 0
3. 这题没找到
4. 这题也没找到
5. 这题还是没找到
6. 设 L 是平面有向曲线,下列曲线积分中,( )是与路径无关的.
(A)
ˆ
L
(ye
x
+ x
2
− y)dx + (x + e
x
− 2y
2
)dy (B)
ˆ
L
(cos x + y)dx + (x + cos y)dy
(C)
ˆ
L
(cos x − y)dx + (x + cos y)dy (D)
ˆ
L
(
1
2
y + 3xe
x
)dx − (
1
2
x − y sin y)dy
7. 设 Σ 是平面 x = 1、y = 1、z = 1 与三个坐标面围成区域的表面,取外侧,则曲面积分
¨
Σ
2xdydz + 2zdzdx + 3ydxdy =( ).
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 7
8. 级数 1 +
(
1
2
)
2
+
(
1
3
)
2
+ ··· +
(
1
n
)
2
+ ··· 是( ).
(A) 幂级数 (B) 调和级数 (C) p 级数 (D) 等比级数
二、填空题(请将正确答案填在相应的横线上,每空 3 分,共 24 分)
1. 微分方程 y
′
= p(x)y 的通解是 y =
2. 设
a 与轴
l 的夹角为
π
6
,且 |
a| = 4,则 Prj
l
a =
3. 设 f (x, y) = tan(xy
2
),则 f
x
(0, 2) =
4. 交换二次积分次序的积分次序后,
ˆ
2
1
dx
ˆ
√
2x−x
2
2−x
f (x, y)dy =
5. 已知 Ω 是由旋转抛物面 z = x
2
+ y
2
与上半球面 z =
√
2 − x
2
− y
2
围成的区域, 则
˚
Ω
xyzdxdydz =
6. 设 Σ 是球面 x
2
+ y
2
+ z
2
= 1,则
¨
Σ
(x
2
+ y
2
+ z
2
)dS =
7. 积分
˛
L
(x
2
−y)dx + ( y
2
+ x)dy = ,其中 L 为圆周 (x − 1)
2
+ y
2
= a
2
的正向.
8. 级数
∞
∑
n=1
(−1)
n−1
1
√
n
是 收敛.(填条件收敛或绝对收敛)
三、综合题(请写出求解过程,8 小题,共 52 分)
1. 求过点 (3,-2,1), 且与直线
x − 1
1
=
y + 1
1
=
z − 2
3
平行的直线方程.(6 分)
2. 设 z = e
xy
+ cos(x + y), 求 dz.(6 分)
3. 计算
¨
D
y
x
dxdy,D 是由直线 y = 2x, y = x, x = 2, x = 4 围成的闭区域.(6 分)
4. 计算
˚
Ω
zdxdydz,其中 Ω 由平面 z = 3 与旋转抛物面 x
2
+ y
2
= 3z 围成的区域.(6 分)
1
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