2009-集合论与图论-期末试题及答案1
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更新于2022-08-03
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这篇资料是关于2009年哈尔滨工业大学秋季学期的“集合论与图论”课程的期末试题及答案。试题涵盖了集合论和图论的基础概念,包括集合的基本操作、关系的性质、图的理论等多个方面。
1. 题目中提到集合BA与BBAB的关系,若BBABBA\)()\(=,这意味着B与自身相交并且与A的关系是对称的。因此,B等于B与A的并集减去A本身,即B=B∪A-A,简化后得出B=∅。
2. 对于映射XAYXf→ ,:,其逆映射))((1Aff −表示将A中的元素通过f映射后得到的集合。如果))((1Aff −与 A有包含关系,那么1Aff 是A的真子集,即A中所有元素都能通过f映射到A的不同元素上,但不能有元素映射到自己。
3. 在集合S={1, 2, 3, 4, 5}上找一个等价关系R,能产生特定划分。等价关系R必须满足自反性、对称性和传递性。题目给出的划分表明R应该包含{(1, 2), (2, 1), (2, 2), (1, 1), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (4, 5), (5, 4), (5, 5)},这些对构成了R。
4. 定义了三个映射,分别在实数集、整数集和自然数集上。对于这些映射,要判断它们是否是单射、满射或双射。映射1是1到R的映射,显然是单射;映射2是整数到自身的映射,可以覆盖所有整数,所以是满射;映射3是整数到实数的双射,因为它把每个整数映射到一个唯一的实数对。
5. 在集合A={1, 2, ..., 11}上的整除关系是偏序关系,其极大元是1的因子,即集合{1, 2, 3, 5, 6, 11}。
6. 集合X上有n个元素,对称的二元关系是指关系R和它的逆R^-1是相同的。这样的关系有2^n - n种,因为每个元素都可以与自身关联,除了自身以外还可以与其他n-1个元素关联,共有2^n种可能,但减去不包含对称关系的情况,即不关联自身的情况n。
7. 关系R是传递的当且仅当对任何元素a, b, c在X中,如果(a, b)和(b, c)都在R中,那么(a, c)也在R中。对称的条件是R的逆关系R^-1与R相同。
8. K-正则偶图意味着每个顶点的度数都是偶数。如果有p个顶点,最小的p使得存在这样的图是2p,因为至少需要两个顶点相连以满足每个顶点的度数是偶数。
9. 每个药箱含有n种药的其中一种,总共n个药箱,意味着有n种药。每种药在两个药箱中,所以每个药箱有1-n种药,n个药箱共有2/(1-n)种药。
10. 无向图G有12条边,6个3度顶点,其余顶点度数小于3。要使边数最少,其余顶点应尽可能多为2度,所以至少有9个顶点。
11. 无向树T的最大度数范围是1≤Δ(T)≤p-1,如果Δ(T)=2,则最长路径的长度为p-1,因为树中路径的长度不可能超过顶点数减1。
12. 极大平面图是指可以平展在平面上的图,没有交叉边。有8个顶点的极大平面图的面数f是12,这是平面图欧拉公式V-E+F=2的应用。
13. 如果图G是(p, q)图且p<q-1,那么G的顶点连通度k(G)为0,因为没有足够的边来连接所有顶点。
14. 正则二元树中,边数q和树叶数t的关系是q=2(t-1),所以如果t是树叶数,q=2(t-1)。
15. 当p和q都是偶数时,K_{p,q}是欧拉图,因为欧拉图要求所有顶点的度数都是偶数。
在简答题部分,涉及集合的交并差运算、反自反和传递关系的性质,以及构造满足特定条件的映射。这些题目进一步巩固了集合论和图论的基本概念。

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