拉格朗日群定理证明1
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2022-08-08
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拉格朗日群定理: 设 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶整除 G 的阶。
证明：思路是构造一个等价关系，使得 H 的每个左陪集都是其中的等价类。
1、构造一个二元关系 R={aRb|a
-1
*b�H}。下面证明它是一个等价关系。
（1）自反性：�x�G, x
-1
*x=e�H, => xRx.
（2）对称性：�x,y�G, xRy => x
-1
*y�H, so y
-1
*x=(x
-1
*y)
-1
�H, yRx.
（3）传递性：�x,y,z�G, (xRy and yRz)=>x
-1
*y�H and y
-1
*z�H.
x
-1
*z=x
-1
*y*y
-1
*z �H, xRz.
2、证明 R 的等价类是 H 的左陪集。
(1)定理 1：b�aH,当且仅当 a
-1
*b�H.
证：b�aH,当且仅当存在 h�H,使得 b=a*h; =>a
-1
*b=h�H,因此当且仅当 a
-1
*b�H.
因此，R 的[a]=aH.
3、证明 H 的所有左陪集，或者 aH=bH,或者 aH�bH=�.
(2)定理 2：a
-1
*b�H,当且仅当 aH�bH��且 aH=bH.
证：已知 a
-1
*b�H, 由定理 1 知,b�aH.
因 b=b*e, e�H, => b�bH.
因此，b�aH�bH, aH�bH��.
设�x�aH�bH，�h
1,
h
2
�H, 使得 x=a*h
1
=b*h
2
,
=> a=b*h
2
*h
1
-1
=> b=a*h
1
*h
2
-1
�a'�aH，存在 h'�H,使得 a'=a*h'=b*h
2
*h
1
-1
*h'。
因为 h
2
*h
1
-1
*h'�H，因此 a'�bH.
反之，�b'�bH，存在 h'使得 b'=b*h'=a*h
1
*h
2
-1
*h'。
因为 h
1
*h
2
-1
*h'�H，因此 b'�aH.
所以，aH=bH。
因此，等价关系 R 构成 G 的一个划分。
因为每个等价类是一个左陪集，可定理知每个陪集的元素数目=|H|，|G|=等价类的数量
*|H|。
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