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2019年第二届中青杯全国大学生数学建模竞赛研究生组优秀论文1
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2022-08-03
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34页
1.1 研究背景 1.2 需要解决的问题 4.1 主要变量因素 4.2 衡量标准
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电影拍摄日程规划问题
摘 要
随着多媒体技术的不断发展和人民对精神文化生活需求的日益增长,我国电
影行业正处于蓬勃发展的阶段。电影拍摄是一个复杂的工程,需要综合考虑各种
因素,如演员档期、拍摄场地、道具设备、拍摄时间和拍摄成本等多种因素。这
些因素相互关联,相互约束。如何综合考虑各类因素及其相互制约关系,制定拍
摄时短、拍摄成本低的电影拍摄日程安排表成为一个必须解决的重要问题。为此,
本文首先以拍摄耗时和拍摄成本作为参考指标,利用编程语言、函数工具和排序
交换法,得到拍摄日程安排的第一个最优模型;而后,利用灵敏度分析得出关键
约束条件,并细致分析突发情况下的日程安排。同时,本文以时间利用率为参考
指标,利用贪心算法,给出了日程安排的另一个数学模型,将本课题的
NP
问题
转化为求局部最优解的直观问题。
具体来讲,本文完成的主要工作有:
首先,紧密联系课题实际,利用任务分解结构,将电影脚本拆分为由各类变
量因素组成的任务。一方面将抽象问题形式化,为建立数学模型做准备;另一方
面将整体目标拆分为多个任务,更加便于执行。
其次,对于问题
1
,分别从拍摄时间和拍摄成本的角度出发,利用
python
编程语言和
Excel
函数工具,建立时间最优模型和成本最优模型。而后利用整数
线性规划和成对交换法,将上述两个模型进行整合,得到本文第一个完整的最优
模型。通过实例化变量进行求解验证,结果表明在最短拍摄日程下,也能达到最
小的拍摄成本,与实际情况相符。相比于以往的解决方案,本文模型不仅考虑拍
摄时间上的优化,而且综合考虑拍摄成本的优化,更加符合实际应用需求。同时,
与单纯的数学模型相比,本文模型使用模拟数据进行模型的测试、评估和改进,
更具有真实性和实用性,可操作性更强。
而后,对于问题
2
,根据最终的最优模型,使用
Oracle Crystal Ball
软件对模
型灵敏度进行分析。结合实际操作,建立实例数据,使用泊松分布处理实验数据,
通过差视图清晰直观反映各种影响因素,分析得到演员档期和特殊设备作为关键
约束,对缩短拍摄日程的影响达到
90%
以上。这也与实际情况相符合。
最后,对于问题
3
,当发生突发情况后,首先分析具体情况,对时间最优模
型和成本最优模型的数值进行修改,而后利用新的数值,采用问题
1
中的最优模
型,得到突发情况下的最优拍摄日程安排,具有很好的可调整性。由于突发情况
不影响之前发生的行为,因此,本文模型较好地减小了某一突发情况对全局的影
响。
同时,为了能够更为快速有效的完成日程安排规划,本文给出了另一种更为
简约的数学模型。该模型以演员档期、特殊设备、场景布置和场地变换为参考,
考虑各要素的优先程度,通过贪心策略得到局部最优解。最后,依据总浪费时间
与总拍摄时间求出时间利用率,利用率越高则说明拍摄日程安排最为合理。
关键词:电影拍摄;日程安排;拍摄时间;拍摄成本;最优模型
1 问题重述
1.1 研究背景
电影已然成为大众日常生活中常见的娱乐消费产品,随着我们国家的发展,
大众的文化需求与日俱增,电影产品的需求量快速增长,如图 1 所示。那么如何
利用有限的资源拍摄出能够获得大众口碑的电影产品也就自然成为了电影拍摄
团队所不得不面对的难题,如何有效地对电影拍摄日程进行合理规划便成为重中
之重。
数据来源:公开资料整理
图 1 2009 至 2018 上半年电影票房变化
制作电影日程安排表是电影制作过程中的一项重要且必须完成的任务。在电
影拍摄之前,需要根据安排表进行拍摄预算,在拍摄阶段需要根据安排表安排拍
摄任务,合理把控拍摄进度
[1]
。但是,日程安排表的制定并不是固定的,而是会
随着各种突发情况发生变化,例如天气原因,演员档期原因或者设备故障等原因
[2]
。对于一个策划团队来说,制作电影日程安排表是一个需要耗费大量时间精力
的工作,其主要难度在于要综合考量各种约束条件并根据既定目标提出最优方案。
1.2 需要解决的问题
问题一:建立一个安排摄影日程的模型,满足以下几类约束:
①演员档期;
②每个场景都需要拍摄相应的时长;
③某些场景的拍摄需等待前期制作完成才可进行;
④某些场景需要特殊道具(例如直升飞机),但此道具只在某些时间段可用;
⑤其他需要满足的约束。
问题二:在问题 1 中若删除一个约束后重新安排可能会缩短拍摄日程,其中
缩短日程最多的一个约束称为关键约束。拍摄团队想知道关键约束,以便协调后
进一步缩短日程。
问题三:在拍摄过程中可能会出现突发状况,比如演员生病导致一段时间内
无法参与拍摄,此时需要调整后续的拍摄日程。请设计一个模型,在问题 1 模型
生成的日程基础上,根据突发状况,调整后续的拍摄日程。
2 问题假设
结合实际操作,对本课题问题进行如下假设:
(1) 主要演员档期以天为单位,并且在未来一段时间内,排除突发情况影响下,
主要演员档期是已知的。
(2) 配演演员可以随时保持在位,即不考虑配演演员档期问题。
(3) 假设拍摄时间可以根据电影脚本需要进行拆分,每天的总计拍摄时间为八
小时,各类资源(如演员、设备、灯光等)在八小时内都是可以调度的。
(4) 由于各类资源(如演员、摄像机等)无法在理想情况下持续使用,因此要
考虑资源更新的时间,并假设各类资源的更新时间可以由导演根据实际情
况设定。
(5) 在假设(4)的基础上,考虑不同任务之间的衔接时间,计算出总计的间
隔时间。间隔时间越长,对影片质量影响越大。若某一间隔时间超过资源
更新时间,如由于设备故障,演员生病等突发情况引起,不计入间隔时间
之内,而属于突发情况下的影响。
(6) 假设每个场景(任务)的拍摄时间是已知的,且考虑到实际情况,不能超
过持续拍摄时间。
(7) 特殊设备的可用日期在拍摄时间内是已知的。
(8) 假设镜头的补拍率已知,包括主要演员的镜头补拍率、配演的补拍率和特
殊设备镜头的补拍率。配演的补拍率可以根据日程安排随时调整,则应当
优先考虑主演和特殊设备的补拍率,提前预留好补拍时间。
(9) 假设每天拍摄时长为 8 小时,即所有资源的使用时间每天最多为 8 小时。
3 符号说明
T
持续拍摄时间
j
p
任务周期时间
j
S
任务开始时间
( , )A S t
某一时间下的任务集合
j
任务
A
任务集合
S
开始时间的集合
pagebegin j
任务对应脚本的开始页
pageend j
脚本的结束页
pagetime j
任务执行的具体时间
R
电影拍摄所需资源的集合
j
R R
完成任务 j 所需的资源
r
A
执行时需要用到资源 r 的任务的集合
,r j
任务资源指示变量
( , )
r
j t
某一任务 j 是否用到了资源 r
L
位置集合
j
L
完成任务 j 所需的位置
s
X
活动安排表中的各个任务
j
f
位置变化函数
LC( )
s
X
位置变化总次数
LG( )
s
X
总计间隔时间
,r j
g
间隔数量函数
NG( )
s
X
间隔数量总数
,r j
w
资源更新数量函数
GR( )
s
X
资源更新数量总数
i
v
影片场景连续性函数
TC( )
s
X
时间连续性函数
f
A
固定任务约束
( , )pairs i j
关联任务对
l
p
关联任务对的集合
[ , ]e I
时间区间
{[ ( ), ( )], 1,2, , ( )}
i i
e j I j i w j
任务最早开始和最晚结束的时间函数
TW( )j
任务的所有时间窗口集合
1
( )
j
b t
时间窗口指示变量
( )
r
a t
资源约束指示变量
( )
j
b t
1
( )
j
b t
和
2
( )
j
b t
最小值
2
( )
j
b t
时间约束条件
1
R
无拍摄任务的资源
2
R
摄像机需连续使用 5 个小时的资源
r
c
工作容量
r
u
更新时间
0
( , )rem r t
剩余工作时间
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