2020年数学建模B题（国二）论文.pdf
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2021-04-19
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穿越沙漠的最佳策略
摘要
本文主要研究在穿越沙漠的游戏中如何设计不同地图和不同天气状况下的
行走方案使得在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。本文中所有初始
购买食物和水的数量原则为在起点买正好能够到达下一个村庄的水，在满足负荷
和资金的情况下，购买尽可能多的食物。因为食物单价高，可以减少在村庄补充
食物的资金。并且所有最终方案都已进行过负荷和资金数限制的检验。
针对问题一，对于第一关，以到达终点时的剩余资金数最大为目标函数，并
列出各个约束条件，然后借助 Excel 进行数据及逻辑分析，在满足约束条件的基
础上利用启蒙式算法进行计算机模拟，得到玩家的最优策略，最终的剩余资金数
为 10430 元，行走路线为 1→25→ 24→23（停留）→ 22→9（停留） →15（补充）
→13→14→13→15（补充）→9→21→27，剩余水和食物均为 0 箱。将第一关的模
型进行改进，即从矿山到村庄补给资源时，可以将食物和水放置在矿山，待补充
资源返回矿山后继续使用，以此来增加挖矿天数，改进后求得最终的剩余资金数
为 11030 元，行走路线等结果见附录。
对于第二关，类似第一关，只是游戏地图不同，通过编程得到最终的剩余资
金数为 12730 元，行走路线为 1→2→3→4(停留) →5→13（停留）→22→30（挖 2
天）→39→47→55（挖 4 天）→65（补水 185 箱，补食物 175 箱）→55（挖 8 天）
→63→64，最终剩余水 0 箱，食物 0 箱。
针对问题二，对于第三关，通过分析各种天气状况组合下的行走方案，发现
不经过矿山可以使最终的剩余资金数更多，通过 Floyd 算法求得最短路径，得到
行走路线为 1→5→6→1→3，通过编程分别求得在此路线上行走不同天数（3-10
天）最终剩余资源数的期望值（求期望值时初始购买物资按理论最优值进行购买，
但是现实中一开始并不知道后面的天气状况，所以一开始按照全部高温天气进行
购买初始物资更加合理），发现按照两种方法开始购买物资，都是行走 3 天可使
最终的剩余资源数最大，所以玩家的最优策略为行走路线为 1→5→6→13 且高温、
晴朗天气均不停留。
对于第四关，假设 30 天内出现 m 次沙暴天气。计算可知任何天气情况挖矿
都可获得收益，则玩家的策略为采用经过矿山挖矿→补给→挖矿的最优方案（挖
矿天数最大），最后回到终点。假设在最后一次挖矿前遇到沙暴天数为 t（t≤m）
天，那么玩家应当预留(3+m-t)天，确保能够回到终点。
针对问题三，对于第五关，与第三关分析类似，可知如果不挖矿能使玩家最
终的剩余资金数比挖矿更多。采用协商合作共赢方式，由最短路径原理可以确定
两名玩家行走路线为 1→5→6→13，另一名玩家的行走路线为 1→4（停留一天）
→7→12→13，其最终剩余资金数为 9425 元，另一位玩家的剩余资金数为 9510
元；如果玩家不协商合作，采取零和博弈，直接选取对自己最有益的策略。
对于第六关，同第四关分析类似求得起点到终点最短路径为 8 天。采用协商
合作共赢方式，平均分配三个人挖矿时间，相遇与沙暴天气均停留，第一名玩家：
1→2→3→8→13→18→ 23→24→25，第二名玩家：1→6→7→12→13→14→19，第三
名玩家：1→2→3→4→9→10→13；若玩家不协作，采取零和博弈，选取对玩家自
己最有益的策略。
关键词： 最优策略 目标规划 启蒙式算法 最短路径
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