线性代数期末卷_20181

【线性代数期末卷_20181】 这份试卷涵盖了线性代数的一些核心概念，包括向量空间的维度、矩阵的可对角化性、正交集、单位向量、子空间的正交补以及二次型的表示。 1. (10 points) 题目要求找到向量空间H的维度。向量空间H由所有形如(a, -3b + 3c, 5a + 4c + 4d, b - 2c - d, 5c + 5d)的向量组成，其中a, b, c, d属于实数R。要找到维度，我们需要确定一组线性无关的向量。通常，这涉及将这些向量看作是R的四维空间中的点，并寻找能覆盖整个空间的最小数量的向量。解题时需要通过行简或列简行列式来确定向量是否线性相关。 2. (12 points) 判断矩阵A是否可对角化。给定矩阵A = [2 2 1; 1 3 1; 1 2 2]。一个矩阵是可对角化的，当且仅当它有n个线性无关的特征向量，其中n是矩阵的阶数。需要计算A的特征值和对应的特征向量，然后检查特征向量是否线性无关。 3. (18 points) 这部分包含了关于向量的多个问题： - (6 points) 求使得{⃗v1,⃗v2,⃗v3}成为正交集合的数值a和b，其中⃗v1 = (2, -2, 1)，⃗v2 = (3, 1, -4)，⃗v3 = (7, a, b)。正交集合意味着向量之间的点积为零。解题时需要通过解方程组来找出a和b的值。 - (3 points) 计算向量⃗v1和⃗v2之间的距离，即dist(⃗v1, ⃗v2)。距离公式是两个向量差的模长。 - (3 points) 将向量⃗v1规范化为单位向量。这需要将向量除以其模长。 - (6 points) 在R3中，子空间W由{⃗v1,⃗v2}生成，向量⃗y = (1, 8, 4)。要求写成⃗y = ⃗y1 + ⃗y2，其中⃗y1在W中，⃗y2在W的正交补W ⊥中。这需要找到向量⃗y在子空间W的基上的分解。 4. (14 points) 在向量空间P2中解决以下两个问题： - (7 points) 已知B = {1 + t, 1 + t^2, 1 + t + t^2}是P2的基础，求p(t) = 4 - t + 2t^2相对于B的坐标向量[p]B。这涉及到将多项式p(t)表示为B中的基的线性组合。 - (7 points) 判断多项式集合{10t^2 - t - 9, 4t^2 + t - 5, 2t^2 - 3t + 1}在P2中是线性独立还是线性相关。这需要计算系数矩阵的行列式来判断。 5. (14 points) 对于二次型⃗xTA⃗x = 7x^2_1 + 5x^2_2 + 9x^2_3 - 8x_1x_2 + 8x_1x_3，给出矩阵A： - (4 points) 提供二次型的矩阵A。二次型可以表示为矩阵A的对称部分，即A = 1/2 * (A + A^T)，其中A是对称的。 以上就是试卷的主要内容，涵盖了线性代数的多个关键概念，如向量空间的维度、矩阵的性质、向量的运算以及二次型的表示。解答这些问题需要扎实的线性代数基础，包括矩阵理论、向量空间的性质和二次形式的理解。