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机器人避障问题.doc
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机器人避障问题.doc
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摘要
本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题,主要研究在一个存
在 12 个障碍物的区域中,由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目
标点到达最终目标点两种情形,要得出机器人到达目标点的最短路径,我们将路
径分为两个部分组成:一部分是平面上的自然最短路径(即直线段),另一部分
则是限定区域(即圆弧)。
针对问题一,我们将直线和圆弧组成的路径作为机器人行走的最短路径,因
此我们建立了线圆结构并构造直角三角形,运用勾股定理与两点之间的距离建立
相应方程,无论多么复杂的路径,我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构
来求解。我们利用线圆结构方法对机器人到达目标点的每一条路径进行分解,然
后把几条最短路径采用穷举法列举出来,通过比较得出最优路径分别为(详细的
坐标路线见模型的建立于求解部分):
1076.6094
2602.3058
O A
O B
O C
O A B C O
®
®
®
® ® ® ®
的最短路径的总距离为471. 0372,
的最短路径的总距离为845. 7001,
的最短路径的总距离为 ,
的最短路径的总距离为 。
针对问题二,要求得机器人从 O(0,0)到达 A 点的最短时间路径,由题意我
们知道机器人的直线行走速度是一定的,所以我们考虑到增加机器人转弯时的转
弯半径,从而增加转弯速度,相应的
O A®
长度也发生了变化。针对这个问题我
们根据机器人的最大转弯速度与问题一的分析,通过 Matlab 计算可得当
12
r
=
时,机器人从 O 点出发到 A 的时间最短为 94.6001 秒。
关键词:线圆结构 勾股定理 穷举法 最优路径 机器人避障
—、问题重述
1.1 背景分析
机器人是整合控制论、机械电子、计算机、材料和仿生学的产物。在工业、
医学、农业、建筑工业甚至军事领域中均有重要用途。现在。,国际上对机器人
是靠自身动力和控制能力来实现各种功能的一种机器。联合国标准化组织采纳了
美国机器人协会给机器人下的定义:“一种可编程和多功能的操作机;或是为了
执行不同的任务而具有可用电脑改变和可编程动作的专门系统。”
在科技界,科学家会给每一个科技术语一个明确的定义,但机器人问世已有
几十年,机器人的定义仍然仁者见仁,智者见智,没有一个统一的意见。
机器人是虽然外表不像人,也不以人类的方法操作,但可以代替人力自动工
作的机器。后来美国著名科普作家艾萨克.阿西莫夫为机器人提出了三条原则,
即“机器人三定律”:第一定律——机器人不得伤害人,或任何人受到伤害而无
所作;第二定律——机器人应服从人的一切命令,但命令与第一定律相抵触时例
外;第三定律——机器人必须保护自身的安全,但不得与第一、第二定律相抵触。
这些“定律”构成了支配机器人行为的道德标准,机器人必须按人的指令行事,
为人类生产和生活服务
1.2 问题的提出
题中给出的是一个 800×800 的平面场景图,在原点 O(0,0)点处有一个机
器人,它只能在该平面场景活动范围内活动。图中有 12 个不同形状的区域是机
器人不能与之发生碰撞的障碍物。
在图中的平面场景中,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标(要求目标
与障碍物的距离至少超过 10 个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组
成,其中圆弧式机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径
相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的
半径最小为 10 个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与
障碍物间的最小距离为 10 个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无
法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为 v
0
=5 个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯
速度为
2
0
10 0.1
( )
1
v
v v
e
r
r
-
= =
+
,其中
r
是转弯半径。如超过该速度,机器人将发生
侧翻,无法完成行走。
现要建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径
的数学模型。对场景图 4 个点 O(0,0), A(300,300), B(100,700), C(700,
640),具体计算:
(1)机器人从 O(0,0),出发,O→A、O→B、O→C 和 O→A→B→C→O 的最短路
径。
(2)机器人从 O(0,0)出发,到达 A 的最短时间路径。
二、问题分析
2.1 问题一的分析
针对问题一,我们要求定点 O(0,0)按照一定的行走规则绕过障碍物到达
目标点的最短路径。根据题目我们从 O—A 点考虑到了两种最短路径,O—B 点我
们考虑了三条途径,O—C 点我们考虑了六条最短路径,通过计算每一条路径我
们得出最优路径。由于机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线路径相切的一段
圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆弧的半径最小为
10 个单位。为了不与障碍物发生碰撞,所以我们采用线圆结构方法并对路径构
造出一个直角三角形,再利用勾股定理以两点之间的距离公式建立相应的方程,
得到每个坐标的断点与切点,最终运用 Matlab 得出机器人到达目标点的最短路
径。
2.2 问题二的分析
针对问题二,要求机器人从 O(0,0)出发,到达 A 的最短时间路径。由题
目已知条件我们知道机器人的转弯速度与直线行走的最大速度,在不能增加直线
行走速度的情况下,我们考虑增加机器人的转弯半径。当圆的半径从 10 慢慢增
大时,O 到 A 的时间会变化,当圆的半径增加到某个临界值时,即可求得最短时
间,从而得出最短时间路径。
三、模型的假设与符号的说明
3.1 模型的假设
(1)假设机器人在行走过程中不会出现故障
(2) 假设机器人不会与障碍物发生碰撞
(3) 机器人直线行走的最大速度为 v
0
=5 个单位/秒
(4) 机器人只在限定的平面场景中行走
(5)假设机器人能够抽象成点来处理
(6 )机器人在直线段路径中一直保持最大行走速度
(7) 机器人转弯时不会发生侧翻
(8) 机器人不会折线走
符号
诠释
(x, y)
点的坐标
L
路径的长度
i
d
第 i 行段切线的长度
i
l
第 j 段圆弧的长度
r
转弯半径
f
拉力
k
障碍物上的任意点与行走路径之间的最
短距离
表 3-1 符号说明表
四、模型的建立及求解
4.1 模型 I 的建立
针对问题一要得出机器人到达目标点的最短路径,首先我们要知道每个
点的坐标,在有障碍物的情况下,机器人将沿圆的圆弧行走,即机器人到达每一
个目标点都是由若干段线段以及若干个圆弧构成的。将机器人从 O(0,0)到达
目标点分为几小段,将每一小段上已知的两个坐标与圆弧的圆心连接起来,从而
构造出一个直角三角形,我们设两个点的坐标分别为(a
1,
b
1
、(a
2
,b
2
)
、
、
、
所以
、
切点坐标为(x,y),两条变的长度分别为
m
、
l
,如下图 4-1 所示。
(
1 1
,a b
)
l
( , )x y
图 4-1 构造直角三角形示意图
由图中构造的三角形,运用勾股定理我们可以得出:
2 2
2 1 2 1
( ) ( )m a a b b= - + -
则
2 2
l m r= -
由此我们可以根据两点的距离公式,推导得出以下方程组:
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1
( ) ( )
( ) ( )
x a y b r
x a y b l
ì
- + - =
ï
í
- + - =
ï
î
由此图中各点的坐标都是已知的,针对每一条路径所经过的点与障碍物的坐
标,运用 Matlab 软件编程把每一组数据代入方程组即可计算出每条路径相应切
点的坐标(详见附件)。
4.1.1 模型准备 1
定理:具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上
2, 2
)a b(
r
m
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