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机器人避障问题数学建模.doc
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机器人避障问题数学建模.doc
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摘 要
本文通过在给定的平面场景范围内对机器人就如何躲避 12 个不同形状障碍物区域
的避障行走问题进行探究,在出发点到目的点的多种情形中进行选择,并根据要求,保
证所走的路线为直线段和圆弧。继而探究避障的最短路径及最短时间路径的数学模型,
在此探究过程中,运用穷举法,进行各种行走路线的 CAD 绘图,利用平面几何的点、
线、圆的关系求解行走路径所经过点的坐标、线段长度、和弧长,在各总长度中进行比
较,找出最短路径。最终,根据机器人速度的数据,建立最短时间路径的数学模型,运
用 LINGO 软件最终求出最短时间的路径。
针对问题一,根据题意,为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路与障
碍物间的最近距离为 10 个单位,可分别以障碍物的边界处绘制以 10 为半径的圆,从而
确定安全的可行走的活动范围。利用平面几何知识,在给定的障碍物的坐标的基础上,
求解各路径下的直线段和圆弧的长度并加总求和,利用平面几何的知识,假设未知切点
坐标和圆心,以及根据固定点的坐标,建立模型,求解路线的距离。进而,比较同一目
的地不同路径的总长度,最终,求得最短路径,结果如下所示:
O
�
A:471.03; O
�
B:853.77; O
�
C:1055.063;
O
�
A
�
B
�
C
�
O:2701.932
对于求解 O
�
A
�
B
�
C
�
O 路径时,将路径划分为若干个切线圆结构来求解,建
立目标函数,并利用目标函数建立优化方程组,运用 LINGO 软件,求解确定过 A,B,C
点圆弧不同圆心的坐标
针对问题二,由于转弯速度的不同,在问题一的基础上求解出转弯半径的取值范围,
建立以转弯半径为变量的最短时间路径模型,并通过 LINGO 软件求解,并通过 CAD 软
件做出求解路径的具体图形。
关键词: 避障 最短路径 穷举法 CAD LINGO 平面几何 优化模型
目 录
摘 要.........................................................................................................................................1
1 问题重述.................................................................................................................................1
2 问题分析.................................................................................................................................2
3 模型假设.................................................................................................................................2
4 符号说明.................................................................................................................................2
5 模型的建立与求解.................................................................................................................3
5.1 问题一的模型..............................................................................................................3
5.1.1 模型建立...........................................................................................................3
模型 I ..........................................................................................................................3
5.1.2 模型求解...........................................................................................................7
5.2 问题二的模型............................................................................................................14
5.2.1 模型建立.........................................................................................................14
模型 II.......................................................................................................................16
5.2.2 模型求解.........................................................................................................16
6 模型的评价与改进...............................................................................................................17
7 参考文献...............................................................................................................................17
1 问题重述
在一个 800*800 的平面场景图中,如图,在已知的 12 个不同形状障碍物的坐标区
域,机器人从以原点(0,0)出发前往不同的目标点,并且不能与障碍物发生碰撞。障碍
物的数学描述如下表所述:
编号
障碍物名
称
左下顶点坐
标
其它特性描述
1
正方形
(300, 400)
边长200
2
圆形
圆心坐标(550, 450),半径70
3
平行四边
形
(360, 240)
底边长140,左上顶点坐标(400, 330)
4
三角形
(280, 100)
上顶点坐标(345, 210),右下顶点坐标
(410, 100)
5
正方形
(80, 60)
边长150
6
三角形
(60, 300)
上顶点坐标(150, 435),右下顶点坐标
(235, 300)
7
长方形
(0, 470)
长220,宽60
8
平行四边
形
(150, 600)
底边长90,左上顶点坐标(180, 680)
9
长方形
(370, 680)
长60,宽120
10
正方形
(540, 600)
边长130
11
正方形
(640, 520)
边长80
12
长方形
(500, 140)
长300,宽60
在机器人的行进过程中,规定机器人所走的路径为直线和圆弧所组成(不可有折线
转弯),其中与直线相切的圆弧为不与障碍物发生碰撞的转弯路径,也可以由多个相切
的圆弧路径组成,每个圆弧的半径最小为 10 个单位,否则将发生碰撞,导致机器人无
法完成行走。
机 器 人 直 线 行 走 的 最 大 速 度 为
5
0
�
v
个 单 位 / 秒 , 转 弯 时 , 最 大 的 弯 速 为
2
1.010
0
1
)(
�
�
�
��
e
v
pvv
,其中
�
是转弯半径。若超过该速度,则机器人侧翻,无法完
成行走。
根据以上所给信息,建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时
间路径的数学模型。对场景中的 4 个点 O(0,0),A(300,300),B(100,700),
C(700,640) 具体计算。
(1) 机器人从 O(0, 0)出发,O→A、O→B、O→C 和 O→A→B→C→O 的最短路径。
(2) 机器人从 O (0, 0)出发,到达 A 的最短时间路径。
注:要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器
人行走的总距离和总时间。
2 问题分析
本文研究的是以(0,0)为起点,以 800*800 为平面场景的机器人避障行走问题,在
给定的明确的障碍物的坐标位置的前提下,按照一定的行走路径绕过障碍物达到目的点
的最短路径进行分析,且给定的路径行走方式为仅可以直线段与圆弧,对最短路径的行
走给出方案,建立可行的避障定位最短路径和最短时间路径的数学模型。
问题 1 中,首先根据给定的 10 个单位的障碍距离,绘制出机器人允许行走的活动
区域。接着,利用平面几何的知识以及导数原理,找出最短路径的制定方法,得出圆弧
的半径越小,得到的路径也相应的最短的结论,据此证明所绘制的路径为最短路径。其
次,将到不同目标点,O(0,0),A(300,300),B(100,700),C(700,640),四个点的最短
路径的情况绘制出,在拐角处绘制以方形或圆形的障碍物的顶点为 10 单位半径的圆弧
(圆形的障碍物即以障碍物的圆心为圆心,障碍物的半径加 10 单位为半径的圆弧)。在
此,制定求解路径长度及起始点的坐标,分 4 种情况进行分析。最终,对各条路径的直
线段和圆弧进行加总求和,求得总长度,比较同一目标点下不同路径,最短的即为最短
路径。依据此方法,建立最短路径的数学模型,并求解直线,圆弧起点,终点坐标,圆
弧的圆心坐标。
问题 2 中,O
�
A 的最短路径由距离和速度决定,而直线和转弯的速度不同。因此
需建立转弯半径为变量的优化模型,此时,建立将转弯半径的取值范围为约束条件,由
此,建立模型求解最短时间距离。
3 模型假设
1、假设障碍物的位置固定不变,且只包含长方形,正方形,平行四边形,三角形,圆
形,题目中所给的数据准确无误。
2、假设机器人是一个不被考虑大小的点,即可作为质点,本身宽度不计。
3、假设机器人的性能足够好,在行走的时候不出现故障,且能准确的沿着圆弧转弯。
4、假设机器人可以无限接近边缘行走,忽略机器人转弯的时间。
4 符号说明
表 1 符号说明表
符号
描述
1
L
原点到直线 A 的长度
2
L
A 到下一切点直线段的长度
r
圆弧半径
�
EF
机器人过圆弧长度
ij
T
i 表示第 i 个障碍物,j 表示由左下角逆时针旋转的第 j 个角
5 模型的建立与求解
5.1 问题一(求解最短路径)
5.1.1 模型分析
1 确定机器人可行区域
由于要求的目标点与障碍物的距离至少超过 10 个单位的距离,且行走路径为直线
段与圆弧组成,无直线转弯,可绘制出机器人的活动区域,利用 CAD 制图软件,绘制
图形。
2 绘制路径的原则
题目要求在机器人允许的活动区域内,绘制出机器人到达不同目标点的线路图。规
定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成(转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成,
机器人不能折线转弯)。所以将模型简化为在已知两个固定点和圆弧圆心的情况下,确
定圆弧半径
r
为何值时,才能使机器人行走布局路径最短。局部简化路线图如图 1:
图 1
1)圆弧半径与路径长度关系
假设图中固定点的坐标分别为
),(
11
baA
、
),(
22
baB
,圆弧圆心为
),(
nmO
,圆弧半径
为
r
。线
AC
和线
BD
分别相切于圆
O
于点
C
、
D
,各圆心角分别为
AOC
���
�
,
BOD
���
�
,
BOD
���
�
,
COD
���
�
,线段
AO
、
BO
、
AB
、的长度分别为
cba
,,
。
根据勾股定理可以分别计算
cba
,,
的长度为:
�
�
�
�
�
�
�
����
����
����
2
21
2
21
2
2
2
2
2
1
2
1
)b(b)a(ac
)b(n)a(mb
)b(n)a(ma
(1)
且在
AOBBODAOC
��� 、、
中
���
��� 、、
满足如下三角函数关系:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
��
��
��
ab
cba
b
r
a
r
2
arccos
arccos
arccos
222
�
�
�
(2)
(由于
cba
、、
三条线段均可由已知条件计算出,所以
���
��� 、、
也为已知角)
再根据机器人所走路线结构和公式(2)计算出的角度,可建立路径长度关于圆弧
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