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D题 机器人避障问题.doc
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2023-07-11
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D题 机器人避障问题.doc
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摘 要
本文研究的是机器人避障问题,机器人在不能做折线拐弯,且与障碍物
大于一定距离的情况下,可以确定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成,
而我们的目标正是建立机器人从平面区域中一点到达目标点避障行走的最短
路径及最短时间路径的两种数学模型。
问题一:我们采用的是“铺障避其较小部分而取之”的方法,确定并证
明了最短路径,在确定了最短路径后,我们又构建了线圆结构(切线段与弧
长的和),经分析我们将具体复杂的路径分解成若干个线圆结构,而这些不同
的线圆结构中又分为三种情况,详细解题方法在模型求解中。据此我们求出
了四种不同的最短路径。对于计算机器人行走最短路径,用初等模型求出圆
弧与切线段的和得出最短路径;分别为:471.0372,881.3038,1115.2。
对于求(O-A-B-C-O)的最短路径,注意到通过 A、B、C 节点时拐弯所经
过圆弧的圆心不确定,从而采用非线性规划模型进行优化,利用 LINGO 软件
得到最短路径为 2702.4。
问题二:对于机器人行走最短时间,我们是在问题一的基础上将转弯圆
弧的半径扩大,考虑半径越长,速度越大,圆心固定在正方形 5 的左顶点,
半径变化,建立以时间最短为目标函数的非线性规划模型,使用 lingo 软件
得出最短时间路径所用时间为 97.45735 秒。
关键词:避障问题 线圆结构 最短路径 最短时间路径 非线性规划
一、问题重述
图1是一个800×800的平面场景图,在原点O(0, 0)点处有一个机器人,它只
能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生
碰撞的障碍物,障碍物的数学描述如下表:
编号
障碍物名称
左下顶点坐标
其它特性描述
1
正方形
(300, 400)
边长200
2
圆形
圆心坐标(550, 450),半径70
3
平行四边形
(360, 240)
底边长140,左上顶点坐标(400, 330)
4
三角形
(280, 100)
上顶点坐标(345, 210),右下顶点坐标(410, 100)
5
正方形
(80, 60)
边长150
6
三角形
(60, 300)
上顶点坐标(150, 435),右下顶点坐标(235, 300)
7
长方形
(0, 470)
长220,宽60
8
平行四边形
(150, 600)
底边长90,左上顶点坐标(180, 680)
9
长方形
(370, 680)
长60,宽120
10
正方形
(540, 600)
边长130
11
正方形
(640, 520)
边长80
12
长方形
(500, 140)
长300,宽60
在图1的平面场景中,障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目
标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆
弧组成,其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯,转弯路径由与直线
路径相切的一段圆弧组成,也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成,但每个圆
弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞,同时要求机器人行走线路
与障碍物间的最近距离为10个单位,否则将发生碰撞,若碰撞发生,则机器人无
法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为
5
0
�v
个单位/秒。机器人转弯时,最大转弯速
度为
2
1.010
0
e1
)(
�
�
�
�
��
v
vv
,其中
�
是转弯半径。如果超过该速度,机器
人将发生侧
翻,无法完成行走。
请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的
数学模型。对场景图中4个点O(0, 0),A(300, 300),B(100, 700),C(700,
640),具体计算:
(1) 机器人从O(0, 0)出发,O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
(2) 机器人从O(0, 0)出发,到达A的最短时间路径。
注:要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以
及机器人行走的总距离和总时间。
图1 800×800平面场景图
二、问题分析
问题一:我们假设平面区域内没有障碍物,那么机器人行走路径即为直线型,
而我们也知道两点之间线段最短,然后再把障碍物放入其中,对于有效障碍我们
让它绕过即可,就此我们确定了机器人行走路径。经证明,我们知道转弯路径即
圆弧半径为 10 个单位的时候路径最短。计算机器人行走路径,我们是将路径分
成若干线圆段,分别计算求和。
问题二:经分析,我们知道机器人转弯时圆弧半径越长,转弯速度越大,用
时越少。所以我们在保证机器人不碰撞障碍物的前提下,适当扩大圆弧半径,计
算出机器人转弯时的速度大小,进而计算出机器人行走的最短路径及最短时间
三、模型假设
1、假设机器人可以看成是质点。
2、假设机器人在行走过程中,不会出现任何故障,并能平稳的沿着直线和
圆弧行走。
四、模型建立
1、首先证明一个猜想[4]:
猜想一:具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的:一部分是平面上
的自然最短路径(即直线段),另一部分是限定区域的部分边界,这两部分是相
切的,互相连接的。(即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况)
证明:假设在平面中有 A(a,0)和 B(-a,0)两点,中间有一个半圆形的
障碍物,证明从 A 到 B 的最路径为 A B。
平面上连接两点最短的路径是通过这两点的直线段,但是连接两点的线段于
障碍物相交,所以设法尝试折线路径。在 y 轴上取一点 C(0,y),若 y 适当大,
则折线 ACB 与障碍物不相交,折线 ACB 的长度为:
2 2
| | 2 a +yACB =
图 1-1
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资源评论
- xibeu2024-06-14发现一个宝藏资源,资源有很高的参考价值,赶紧学起来~
omyligaga
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