### N-S方程推导详解
#### 引言
N-S方程，即纳维-斯托克斯方程，是流体力学中的基础方程之一，用于描述黏性流体的运动状态。对于非流体专业背景的学习者来说，理解和掌握N-S方程可能较为困难。本文将详细阐述N-S方程的推导过程，力求使读者能够清晰地理解其背后的物理意义及数学推导。
#### 一、N-S方程的最初形式
##### 1、作用在单元体上的力
N-S方程的基本出发点是牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度（F = ma）。为了构建N-S方程，首先需要明确作用在流体单元体上的力。这些力可以分为两大类：质量力和表面力。
**1.1 质量力**
质量力是指作用于每个流体质点上的力，其大小与流体的质量成正比。在工程流体力学中，常见的质量力包括重力和惯性力。惯性力在存在加速度的情况下才发挥作用，当加速度消失时，惯性力也随之消失。对于推导N-S方程而言，我们可以暂时忽略惯性力的影响，并仅考虑其他常规力的作用。
假设单位质量流体上的质量力在x、y、z三个坐标轴方向的分量分别为\( X \)、\( Y \)、\( Z \)。对于体积为\( dxdydz \)的流体单元体，其质量为\( \rho dxdydz \)，其中\( \rho \)为流体密度。因此，作用在该流体单元体上的质量力在x、y、z三个坐标轴方向的分量分别为\( X\rho dxdydz \)、\( Y\rho dxdydz \)、\( Z\rho dxdydz \)。
**1.2 表面力**
表面力是指作用在流体边界表面上的力，这类力与作用面积成正比。表面力可以进一步细分为压力和切力。压力通常垂直于作用面，而切力则是沿着作用面方向施加的力。
以x方向为例，作用在流体单元体上的x方向表面力可表示为：
\[
\begin{aligned}
F_x &= ( \sigma_{xx} + \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \frac{dx}{2}) dydz - (\sigma_{xx} - \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \frac{dx}{2}) dydz \\
&\quad + (\tau_{yx} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} \frac{dy}{2}) dzdx - (\tau_{yx} - \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} \frac{dy}{2}) dzdx \\
&\quad + (\tau_{zx} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \frac{dz}{2}) dydx - (\tau_{zx} - \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \frac{dz}{2}) dydx
\end{aligned}
\]
这里，\( \sigma_{xx} \)代表x方向的压力，\( \tau_{yx} \)和\( \tau_{zx} \)分别代表在y和z方向上的切应力。
类似地，可以得到y和z方向的表面力表达式。
##### 2、单元体的加速度
加速度是牛顿第二定律中的另一个关键要素。在三维空间中，加速度可以分解为x、y、z三个方向上的分量。对于任意流体单元体，其在x方向上的加速度\( a_x \)可以通过以下方式表示：
\[
a_x = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}
\]
这里，\( u \)、\( v \)、\( w \)分别是流体在x、y、z方向的速度分量；\( \frac{\partial u}{\partial t} \)表示速度随时间的变化率，即当地加速度；而\( u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \)则表示由于流体流动造成的速度变化，称为位移加速度。
通过以上分析，我们已经确定了作用在流体单元体上的力以及流体单元体的加速度。接下来，需要利用牛顿第二定律建立力与加速度之间的关系，进而推导出N-S方程的一般形式。
#### 二、应力形式化简
在推导N-S方程的过程中，还需要对作用在流体单元体上的应力进行化简。这一步骤主要涉及切应力与应变的关系以及法向应力与应变的关系。
**1、切应力与应变的关系**
切应力\( \tau \)与应变率\( \gamma \)之间存在着线性关系，通常用下面的公式表示：
\[
\tau = \mu \gamma
\]
其中，\( \mu \)是流体的动力黏度系数，\( \gamma \)是应变率，定义为：
\[
\gamma = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}
\]
**2、法向应力与应变的关系**
法向应力\( \sigma \)与应变之间也存在一定的关系，可以通过流体的体积膨胀率来表示。对于不可压缩流体而言，体积膨胀率为零，因此法向应力与流体的黏性有关，可以用下式表示：
\[
\sigma = -p + 2\mu \left( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} \right)
\]
其中，\( p \)为流体的压力。
通过上述分析，我们可以将作用在流体单元体上的表面力用流体的速度、密度和黏度等物理量表示出来，从而为下一步推导N-S方程提供必要的准备。
#### 三、不可压缩流体的N-S方程
不可压缩流体意味着流体的密度保持不变。对于不可压缩流体而言，连续性方程可以简化为：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0
\]
结合之前推导的质量力、表面力以及加速度，我们可以利用牛顿第二定律得到不可压缩流体的N-S方程。以x方向为例，N-S方程可以表示为：
\[
\begin{aligned}
\rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z} \right) = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \rho X
\end{aligned}
\]
这里，\( p \)是流体的压力，\( \mu \)是流体的动力黏度系数，\( X \)是x方向的质量力分量。
类似地，可以得到y方向和z方向的N-S方程。
#### 四、加速度项du/dt的处理
在推导N-S方程时，需要对方程中的加速度项\( \frac{du}{dt} \)进行适当的处理。通常情况下，这个加速度项可以写作：
\[
\frac{du}{dt} = \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} + w \frac{\partial u}{\partial z}
\]
这个表达式包含了两个部分：当地加速度和位移加速度。当地加速度反映了流体速度随时间的变化，而位移加速度则反映了由于流体流动导致的速度变化。在不可压缩流体的情况下，可以通过引入哈密顿算子（Del Operator）简化加速度项的表示，从而使得N-S方程的形式更为简洁明了。
### 结论
通过以上详细的推导，我们得到了不可压缩流体的N-S方程。N-S方程是流体力学中的基石，它不仅描述了流体的运动规律，也为流体动力学的许多应用提供了理论基础。对于希望深入了解流体力学的读者来说，掌握N-S方程的推导过程是非常重要的。
