信奥中的数学 数论 第3讲 质数与合数（二）-2022.06.30（有作业）.pdf

在信息学奥林匹克竞赛（简称信奥）中，数学和数论是重要的组成部分，尤其是在CSP（计算机科学奥林匹克试验）初级和高级组别、NOIP（全国青少年信息学奥林匹克联赛）以及NOI（全国青少年信息学奥林匹克竞赛）中。本讲主要探讨的是质数与合数的相关知识。 质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。例如，2、3、5、7、11等都是质数。而合数则是指有超过两个正因数的自然数，除了1和它本身外至少还有一个正因数。例如，4、6、8、9等都是合数。 在提供的内容中，我们看到了几个关于质数和合数的例题和证明： 例2探讨了求满足条件p^2 + 11有6个不同正约数的质数p。这是一个寻找特定性质质数的问题，通常需要结合质数的性质和因数分解来解决。 例3则是一个代数性质的证明问题，通过给出的等式ab=cd，证明a+b+c+d是合数。这需要利用数的分解和因数关系进行推导。 例4证明了对于任意整数n>1，n^4 + 4n不是素数。这个证明可能涉及数的模运算和因式分解技巧。 例5证明了对任意正整数n，都能找到连续的n个正整数，这些数都是合数。这需要对合数的分布有深入的理解。 例6到例7涉及到的题目更加复杂，如寻找满足特定条件的质数和合数，或者证明某些表达式的非质数性。 作业中的题目进一步加深了对质数和合数的理解，如解方程、证明特定数的性质等。 此外，欧几里德算法（辗转相除法）也在数论中占有重要地位，它是计算两个正整数最大公约数（GCD）的有效方法。在竞赛中，质因数分解、最大公约数和最小公倍数的计算也经常出现，例如题目1957和1915。 在编程方面，提供的代码片段展示了如何使用简单的程序来查找两个质数之和等于给定数s的两个质数。这是典型的搜索和判断质数问题，通常在算法竞赛中作为基础题型出现。 通过以上分析，我们可以看出，信奥中的数论部分不仅需要掌握质数和合数的基本概念，还需要熟悉它们的性质、因数分解、模运算等高级技巧，并能够运用这些知识解决实际问题。同时，编程能力也是必不可少的，能够将数学理论转化为算法实现。对于参加信奥的学生来说，理解和熟练应用这些知识点至关重要。