东南大学数值分析第七部分偏微分方程数值解法.pdf
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2022-11-02
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第七章 偏微分方程数值解法
——Crank-Nicolson 格式
****(学号) *****(姓名)
上机题目要求见教材 P346,10 题｡
一､算法原理
本文研究下列定解问题(抛物型方程)
u
2
u
t
a
x
2
f (x,t) (0 x l,0 t T )
u(x,0)
(x) (0 x l)
u(0,t)
(t), u(1,t)
(t) (0 t T )
(1)
的有限差分法,其中
a
为正常数,
f ,
,
,
为已知函数,且满足边界条件和初始条
件｡关于式(1)的求解,采用离散化方法,剖分网格,构造差分格式｡其中,网格剖分是
将区域
D
0 x l,0 t T
用两簇平行直线
x x
i
ih (0 i M )
t t k
(0 k N )
k
l T
,
分别为空间步长和时间步长｡将式(1)中的偏分割成矩形网格,其中
h
M N
导数使用不同的差商代替,将得到不同的差分格式,如古典显格式､古典隐格式､
Crank-Nicolson 格式等｡其中,Crank-Nicolson 格式具有更高的收敛阶数,应用更广
泛,故本文采用 Crank-Nicolson 格式求解抛物型方程｡
Crank-Nicolson 格式推导:在节点
(x
i
,t
k
)
处考虑式(1),有
2
对偏导数
u
2
u
(x
i
,t
k
) a
2
(x
i
,t
k
) f (x
i
,t
k
)
t 2 x 2 2
u
(x
i
,t
k
)
用中心差分展开
t 2
(2)
u
1
2
3
u
(x
i
,
i
k
) (t
k
i
k
t
k +1
)
(3)
(x
i
,t
k
)
u(x
i
,t
k 1
) u(x
i
,t
k 1
)
3
t 2
24 t
2
u
将
2
(x
i
,t
k
)
在节点
(x
i
,t
k
)
和
(x
i
,t
k1
)
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