流体力学NS方程推导过程.pdf

流体力学中的NS方程，即Navier-Stokes方程，是描述牛顿流体运动的基本方程，广泛应用于流体动力学、航空航天等领域。它们是连续介质力学的一部分，用于定量表述流体内部的力平衡，包括惯性力、压力力、黏性力和外部力。NS方程的推导过程复杂，涉及多个物理原理和假设。 推导NS方程的一个关键假设是连续介质假设。这一假设认为，尽管流体在微观层面上由大量分子组成，且分子运动是无规则的，但在宏观尺度上看，流体可以被视为连续的、无空隙的物质。这意味着我们可以对流体内任意小的体积进行数学上的微分和积分操作，而且这些体积内的物理量（如速度、压力、密度）是连续变化的。连续介质假设的成立要求流体问题的空间尺度远大于分子的平均自由程，即分子在碰撞之间运动的距离。 在满足连续介质假设的条件下，我们可以开始推导NS方程。质量守恒定律要求在流场中，控制体的质量在运动过程中保持不变。这可以通过连续性方程来表达，即对流体质点的运动进行微分，得到： \[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0 \] 其中，ρ是流体密度，t是时间，v是流体速度，n是单位法向量，S是控制体表面。连续性方程表明，流体密度的时间变化率加上速度矢量与密度乘积的散度等于零，这确保了流体质量的守恒。 接着，通过牛顿第二定律，我们可以推导出动量守恒方程，即NS方程。这涉及到对流体质点受力的分析，包括内部的黏性应力张量、压力梯度以及外力。最终，NS方程可以写成： \[ \rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g} \] 这里，p是流体压力，μ是动力黏度，g是重力加速度。第一项表示惯性力，第二项是黏性力（纳维-斯托克斯项），第三项是压强梯度力，最后是重力或其它外力。 然而，在某些特殊情况下，连续介质假设可能不成立。例如，当空间尺度极小，接近分子平均自由程时，如热线风速仪的金属丝或激波面；或者在高真空环境中，分子平均自由程非常大，流体行为接近稀薄气体状态。在这种情况下，需要考虑分子间的直接相互作用，不能简单地应用NS方程。例如，在高马赫数和低雷诺数的流动中，边界层内的分子平均自由程可能与流动特征尺度相当，此时需要考虑稀薄气体动力学效应。 流体力学的NS方程是描述复杂流体运动的基础，其推导过程综合了连续介质假设、质量守恒定律和牛顿运动定律等多个物理概念。理解和掌握NS方程的推导有助于深入理解流体动力学中的各种现象，包括层流、湍流以及稀薄气体流动等。