Introduction to Linear Algebra 2.7 转置与置换
需积分: 0 144 浏览量
2022-10-12
20:25:14
上传
评论
收藏 258KB PDF 举报
2.7 转置与置换
1 Ax、AB 及 A
−1
的转置为 x
T
A
T
、B
T
A
T
及 (A
T
)
−1
。
2 点积（内积）为 x · y = x
T
y。此为 (1 × n)(n × 1) = (1 × 1)。
外积为 xy
T
= 列乘以行 = ( n × 1)(1 × n) = n × n 矩阵。
3 A
T
背后的思想是 Ax · y 等于 x·A
T
y，这是因为 (Ax)
T
y = x
T
A
T
y = x
T
(A
T
y)。
4 一个对称矩阵具有 S
T
= S（其乘积 A
T
A 总是对称的）。
5 一个正交矩阵具有 Q
T
= Q
−1
。Q 的列为单位正交向量。
6 一个置换矩阵 P 具有与 I 相同的行（按任意顺序）。有 n! 个不同的顺序。
7 接着 P x 将分量 x
1
, x
2
, . . . , x
n
按该新顺序排列。且 P
T
等于 P
−1
。
我们还需要一个矩阵，幸运的是它比逆简单得多。它是 A 的“转置”，由 A
T
表示。A
T
的列都是
A 的行。
当 A 是一个 m × n 矩阵，则其转置是 n × m 的：
转置 假设
1 2 3
0 0 4
那么 A
T
=
1
2
3
0
0
4
。
你可以将 A 的行写入到 A
T
的列中。或者你可以将 A 的列写入 A
T
的行中。矩阵“翻转”其主对角线。
A
T
的行 i、列 j 元素来源于原先 A 的行 j、列 i：
互换行和列 (A
T
)
ij
= A
ji
。
一个下三角矩阵的转置是一个上三角矩阵。（但是逆仍是下三角。）A
T
的转置是 A。
注记 A 转置的 MATLAB 符号为 A
′
。打出 [1 2 3] 给出一个行向量，于是列向量为 v = [1 2 3]
′
。为输
入一个具有第二个列 w = [4 5 6]
′
的矩阵 M ，你可以定义 M = [v w]。要更快些就按行输入然后再转
置整个矩阵：M = [1 2 3 ; 4 5 6]
′
。
转置规则非常简单。我们可以转置 A + B 以得 (A + B)
T
。或者我们可以分别转置 A 和 B，然后相加
A
T
+ B
T
——结果一样。
需要认真思考的问题是关于乘积 AB 及逆 A
−1
的转置：
和 A + B 的转置是 A
T
+ B
T
。 (1)
积 AB 的转置是 (AB)
T
= B
T
A
T
。 (2)
逆 A
−1
的转置是 (A
−1
)
T
= ( A
T
)
−1
。 (3)
要特别注意 B
T
A
T
怎么就以相反顺序出现了呢。对于逆，这个逆序可迅速得以验证：B
−1
A
−1
乘
以 AB 得 I。为明白 (AB)
T
= B
T
A
T
，当 B 只是一个向量时从 (Ax)
T
= x
T
A
T
开始：
请勿商业交易！仅交流学习！ 邮箱：youth_eric@163.com 微信号：tengxunweixin_id
资源评论
