《数值分析》课程设计中的核心知识点是分段线性插值，这是一种在数值计算中常见的数据拟合方法。分段线性插值是通过将一系列离散的数据点用直线段连接起来，形成一个折线函数来近似原函数。这种技术在工程、科学计算和数据分析等领域有着广泛的应用。
一、分段线性插值的基本概念
分段线性插值的目标是在给定的离散数据点之间构建一个连续的分段线性函数，使得这个函数在每个数据点处都与原始数据相吻合。在数学表达式中，如果已知在区间 [a, b] 上的 n+1 个节点 x0, x1, ..., xn 和对应的函数值 f0, f1, ..., fn，那么分段线性插值函数 L(x) 可以表示为：
对于每个子区间 [xi, xi+1]，L(x) 是一个线性函数，可以写作：
L(x) = f(xi) + (x - xi) * (fi+1 - fi) / (xi+1 - xi)
二、课程设计任务
课程设计的主要任务是实现分段线性插值的编程，并通过比较不同节点数量下的插值效果来理解插值精度与节点数之间的关系。学生需要自编程序，使用 MATLAB 这样的编程语言来实现这一过程。同时，他们还需要进行理论分析，提供数据表和图形，以及对结果的解释和结论。
三、理论基础
分段线性插值的理论基础在于，通过折线段连接数据点，可以在每个子区间内得到一个局部线性的近似。这种近似方法简单且易于计算，尤其是在没有高阶导数信息时。误差分析通常会比较插值函数与原函数之间的差异，以评估插值的准确性和适用性。
四、实验内容
实验部分分为两个模型：
1. 模型一：建立原函数 fd1.m，分段线性插值函数 fd2.m，以及比较不同节点数的插值效果函数 fd3.m。通过改变节点数 n（如 n=2, 8, 20），观察插值函数与原函数的图像对比，以及误差分析。
2. 模型二：针对奇数个节点的情况，构建分段插值函数 fd22 和比较函数 fd32。同样，通过 MATLAB 执行代码并绘制图形，展示不同节点数的插值效果和误差分析。
通过这样的课程设计，学生不仅可以深化对分段线性插值的理解，还能提升编程技能，尤其是使用 MATLAB 进行数值计算的能力。此外，通过理论分析和实践操作，学生可以更好地掌握如何选择合适的节点数以达到理想的插值效果。
